Trochę historii

Nazwa "logika" wywodzi się od greckiego słowa logos oznaczającego mowę (stąd język logo oraz logopedia) a także rozum. Logika zajmowała się tworzeniem precyzyjnych wypowiedzi. Jest jedną z najstarszych dyscyplin naukowych. Należy do pogranicza filozofii i matematyki. Przedmiotem jej badań jest ludzkie rozumowanie (czyli jasne, konsekwentne, ścisłe i uporządkowane myślenie) oraz sposoby poprawnego wnioskowania. Prawa logiki są autonomiczne (tzn. nie zależą od wyznawanego systemu ideologicznego) oraz powszechne (tzn. odnoszą się do wszystkich rozumowań z dowolnej dziedziny naukowej).

Historię logiki można podzielić na cztery fazy: starożytną, średniowieczną, nowożytną i współczesną. Omówimy je krótko poniżej.

Tradycja grecka początek charakterystycznego dla niej „umiłowania mądrości”, czyli filozofii, wywodziła od tzw. siedmiu mędrców starożytności. W tym zestawie wymieniano różne nazwiska, ale jedno zawsze się powtarzało. Był to Tales z Miletu (-640, -546) - najwybitniejszy przedstawiciel jońskich filozofów przyrody. To oni po raz pierwszy w historii nauki nakazywali szukania istoty rzeczy ukrytej za konkretami, co wyrażało się w dążeniu do ogólności wypowiadanych sądów i do poszukiwania ich uzasadnień. Sformułowali pierwsze prawa logiczne: prawo sprzeczności: dwa zdania wzajemnie sprzeczne nie mogą być jednocześnie prawdziwe, prawo wyłączonego środka (łac. tertium non datur, tzn. trzeciej możliwości nie ma): z dwóch zdań sprzecznych jedno jest prawdziwe, a drugie fałszywe, oraz zasadę podwójnego przeczenia: jeżeli nieprawda, że p jest fałszywe, to p jest prawdziwe. Zasady te stały się silnym narzędziem pozyskiwania nowych twierdzeń. Tales pierwszy sformułował ogólne stwierdzenie matematyczne "kąty przy podstawie (dowolnego!) trójkąta równoramiennego są równe" i formalnie je udowodnił.

Najwybitniejszym przedstawicielem kolejnej greckiej szkoły filozoficznej - szkoły eleackiej - był Parmenides (-VI/-V wiek). To on po raz pierwszy świadomie i systematycznie zastosował rozumowanie dedukcyjne. Eleaci odrzucali doświadczenie jako źródło poznania i całą wiedzę wywodzili z założonych a priori przesłanek ogólnych za pomocą abstrakcyjnego rozumowania. Ufali wyłącznie rozumowi i dedukcji. Ich postawa dała początek racjonalizmowi (który w czasach nowożytnych odkrył ponownie Kartezjusz). Sformułowana przez Parmenidesa zasada dedukcji zwana dziś regułą odrywania (łac. modus ponendo ponens, tzn. sposób potwierdzania za pomocą potwierdzenia) mówi: jeśli uznajemy zdanie p i uznajemy rozumowanie prowadzące od zdania p do zdania q, to musimy uznać także zdanie q. Od niego pochodzi także rozumowanie przez sprowadzenie do sprzeczności (czyli a contrario) lub podobna do niej zasada sprowadzenia do niedorzeczności (czyli reductio ad absurdum): jeśli ze zdania p wynika negacja tego zdania ~p  (albo wynika jakieś zdanie fałszywe), to zdanie p nie jest prawdziwe, a zatem należy je odrzucić, bo z prawdy nie może wynikać fałsz, a fałszem byłaby jednoczesna prawdziwość p i ~p. Innymi słowy, poprawne rozumowanie wychodzące od zdania prawdziwego może prowadzić tylko do zdania prawdziwego.

Z zasad tych korzystał w nauczaniu filozof ateński Platon (-427, -347). W dziełach Menon oraz Państwo przedstawił abstrakcyjną dedukcję, jako drogę osiągania idealnej prawdy i konieczny element kształcenia społecznej i politycznej elity. Platon był twórcą nauki zwanej dziś ontologią. Jako pierwszy postawił pytanie, co właściwie poznajemy. Przecież ogólne pojęcia, których używamy, są tylko abstrakcyjnymi konstrukcjami, które nie odnoszą się do rzeczywistych obiektów. Oznacza to, że przedmiotem poznania naukowego nie jest istniejąca rzeczywistość, a obiekty intelektualne. Aby osiągnąć poznanie prawdziwe, należy odwrócić się od świata zjawisk zmysłowych i zwrócić ku doskonałemu światu idei. To podejście nazywamy idealizmem platońskim. Miało ono jednak także niedobre konsekwencje, gdyż w nauce Grecy na wiele stuleci odwrócili się od jej zastosowań.

Za prekursora współczesnej logiki uznaje się greckiego uczonego Arystotelesa (-384, -322), który był twórcą wielu jej kluczowych pojęć i zasad stosowanych także obecnie. Jego traktaty logiczne zostały zgromadzone w zbiorze o nazwie Organon (t.j. "narzędzie"), jako że dla Arystotelesa logika nie była osobną nauką, a wyłącznie narzędziem służącym poznawaniu innych dziedzin. Stworzył m.in. teorię sylogizmów, czyli tzw. logikę nazw (którą w okresie nowożytnym zastąpiła logika zdań). Była to teoria czterech stałych logicznych: "każdy X jest Y", "żaden X nie jest Y", "pewien X jest Y" i "pewien X nie jest Y", które tradycyjnie zapisuje się symbolami a, e, i, o, zaś zmienne nazwy ogólne oznacza się literami S, M, P. Dokonując wszystkich możliwych rozmieszczeń stałych a, e, i, o między zmiennymi S, M, P dostajemy 256 różnych trybów sylogistycznych, z których 24 są prawdziwe. Najbardziej znany jest tzw. sylogizm Barbara: jeśli każde S jest M i każde M jest P, to każde S jest P (znany dziś jako prawo przechodniości implikacji), a także reguły znane dziś jako prawa transpozycji (łac. modus tollendo tollens - tzn. sposób zaprzeczania za pomocą zaprzeczenia, modus tollendo ponens - tzn. sposób potwierdzania za pomocą zaprzeczenia i modus ponendo tollens - tzn. sposób zaprzeczania za pomocą potwierdzenia).

W odróżnieniu od Platona Arystoteles uważał, że obiekty, które poznajemy, istnieją, ale nie jako samoistne idee, lecz jako myślowe abstrakty konkretnych obiektów fizycznych. Realnie istnieją tylko pojedyncze obiekty, a ich wyabstrahowane własności mają byt tylko pomyślany. Wspólną cechą stanowisk Platona i Arystotelesa było to, że przyznawali pojęciom byt rzeczywisty, co nazywamy realizmem pojęciowym (poglądy Platona - przyznające ideom byt rzeczywisty i samoistny - nazywa się skrajnym realizmem pojęciowym, a poglądy Arystotelesa - przyznające ideom byt rzeczywisty ale niesamoistny – umiarkowanym realizmem pojęciowym). Problem istnienia obiektów poznania naukowego odżył w późnym średniowieczu w postaci tzw. sporu o uniwersalia.

W średniowieczu ogromną rolę w nauce odgrywał Kościół, co spowodowało, że logika w tym okresie była ściśle powiązana z teologią. Przez długie wieki dominowała tendencja platońska, której zasadniczą cechą było zaniedbywanie strony materialnej na rzecz pierwiastka duchowego. Tę tendencję odwrócił dopiero św. Franciszek z Asyżu (1182, 1226), który zwrócił się ku światu, jako doskonałemu dziełu Boga. Tymczasem wielki myśliciel - św. Tomasz z Akwinu (1225, 1274) pomógł przyswoić chrześcijaństwu dzieła  Arystotelesa.

Spośród uczonych tego okresu największym uznaniem cieszyli się filozofowie z zakonu franciszkanów: Jan Duns Szkot (1266, 1308) i jego uczeń Wiliam Ockham (1300, 1350). Pierwszy sformułował zasadę zwaną dziś prawem Dunsa Szkota: jeśli zdanie jest fałszywe, to wynika z niego każde inne zdanie, drugi - zasadę zwaną dziś brzytwą Ockhama lub zasadą ekonomii myślenia: jeśli coś można wyjaśnić uproszczonym językiem, bez używania zbędnych pojęć, należy tak właśnie uczynić.

Na przełomie wieków XII i XIII pojawiła się scholastyka, jako odpowiedź na bezkrytyczne traktowanie dzieł klasyków starożytności oraz Ojców Kościoła. Materiał ten zawierał często treści sprzeczne, dlatego potrzebna była metoda rozstrzygania tych sprzeczności. Przyswojone zasoby myśli należało traktować krytycznie i rozwinąć nad nimi samodzielne myślenie. Istotą scholastyki było przeciwstawianie wywodów różnych autorytetów (tzw. lectio), otwarta, krytyczna i nieskrępowana dyskusja nad nimi (tzw. disputatio), a w końcu znajdowanie własnego rozwiązania (tzw. conclusio). Styl scholastyczny charakteryzował się dbałością o ścisłe wyrażanie się i poprawne rozumowania. Był podstawą późniejszego stylu matematycznego.

W średniowieczu odżyła dyskusja ontologiczna nad sposobem istnienia pojęć naukowych w postaci słynnego sporu o uniwersalia. Pytano w nim, czy pojęcia ogólne (tzw. uniwersalia) istnieją realnie poza umysłem, czy są wyłącznie tworami intelektu. Filozofowie średniowieczni przyjmowali stare odpowiedzi (Platona lub Arystotelesa) oraz formułowali nowe, co doprowadziło do gorącego sporu, który osiągnął apogeum w późnym średniowieczu. Nową odpowiedzią, jaka się wtedy pojawiła, był nominalizm, który odmawiał uniwersaliom nie tylko istnienia, ale także przeczył, że istnieją one jako pojęcia. Posługujemy się tylko nazwami (po łacinie nomen i stąd pochodzi nominalizm). Nazwy opisują konkrety, a nie samodzielne byty (jak u Platona) lub byty tkwiące w konkretach (jak u Arystotelesa). Bytów nazywanych tym samym słowem nie łączy żadna wspólna idea. Na przykład myśl o koniu jest w sobie sprzeczna (bo koń nie może być jednocześnie ogierem i klaczą, być młody i stary, gniady i siwy). Według nominalistów istnieją tylko byty indywidualne, nie ma natomiast, ani pojęć ogólnych, ani bytów ogólnych. Na pytanie o naturę uniwersaliów mamy więc dwie zasadniczo różne odpowiedzi: realizm, który uznaje ich istnienie samoistne (Platon) lub niesamoistne (Arystoteles), oraz nominalizm, który zaprzecza istnieniu uniwersaliów i uznaje realne istnienie tylko bytów konkretnych, jednostkowych.

Największe uznanie wśród nowożytnych logików zyskał francuski filozof i matematyk René Descartes (1596-1650) znany pod zlatynizowanym nazwiskiem jako Kartezjusz. W tym czasie nauki ścisłe były w odwrocie. Okres scholastyczny dawno minął, a czasy Odrodzenia nastawione były raczej na nauki humanistyczne. W tej sytuacji Kartezjusz za cel przyjął odnowienie nauk ścisłych i przyrodniczych przez oparcie jej na solidnych podstawach. Zrobił to tak skutecznie, że od niego zaczyna się nowożytny okres w historii nauki. W dziele "Rozprawa o metodzie" szukał sposobu, który doprowadziłby do poznania wszystkich rzeczy dostępnych rozumem i tam sformułował cztery prawa poznania, które dziś tak wrosły w naszą kulturę, że wydają się oczywiste, choć wówczas były bardzo oryginalne. Takie podejście nazywamy racjonalizmem naukowym (od łacińskiego ratio - rozum)

• Pierwszym było, aby nigdy nie przyjmować za prawdziwą żadnej rzeczy, zanim by jako taka nie została rozpoznana w sposób oczywisty i nie zawierać w swoim sądzie nic, jak tylko to, co się przedstawia umysłowi tak jasno i wyraźnie, iż nie ma żadnej możności podania tego w wątpliwość (sceptycyzm metodyczny).
  
• Drugie, aby dzielić każde badane zagadnienie na tyle cząstek, ile by się dało i ile byłoby potrzeba do jego rozwiązania (redukcjonizm).
• Trzecie, aby prowadzić myśli w porządku, zaczynając od przedmiotów najprostszych i najdostępniejszych poznaniu i wznosić się powoli, jakby po stopniach, aż do poznania przedmiotów bardziej złożonych.
• I ostatnie, by czynić wszędzie wyliczenia tak wyczerpujące i przeglądy tak powszechne, żeby być pewnym, że nic nie zostało pominięte.

Kartezjusza uważa się za ojca epistemologii (tzn. teorii poznania). Jego osiągnięcia zmieniły podejście badaczy do nauki i umożliwiły późniejsze dokonania Galileusza, Keplera, Newtona i innych. To zapewne Kartezjusza miał na myśli Newton, mówiąc: Jeśli widziałem dalej niż inni, to dlatego, że stałem na ramionach gigantów.

Niemiecki matematyk Gotfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) studiował filozofię w Lipsku i prawo w Jenie. Studia ukończył ze stopniem doktora na podstawie rozprawy z logiki, w której zawarł szeroko zamierzony plan tej dyscypliny, opartej na symbolicznym zapisie i formalnych prawach, służącej jako uniwersalny język nauki. Zapoczątkował dzisiejszą logikę zdań, podając podstawowe własności funktorów zdaniotwórczych: alternatywy, koniunkcji, negacji i innych. Leibniz wprowadził też kolejną zasadę ontologii (czyli teorii istnienia bytów). U jej podstaw leżał pogląd, że każda substancja składa się z wielkiej liczby prostych jednostek, które nazywał monadami, ale każda monada jest zamkniętym kosmosem, zdolnym do przemieniania się. Sformułował cztery zasady, które odegrały znaczącą rolę w dalszym rozwoju nauki:

• zasada ciągłości - przyroda unika nieciągłości, nie ma w niej skoków, a jedynie łagodne i stopniowe (nieskończenie małe) przejścia, każde zjawisko jest tylko przejściem między innymi zjawiskami (dało to podstawę do wykorzystania rachunku różniczkowego i całkowego do opisywania zjawisk fizycznych),
• zasada ekstremum - procesy w przyrodzie przebiegają tak, że pewne wielkości osiągają zawsze wartość największą lub najmniejszą,
• zasada doskonałości - spośród różnych możliwości przyroda zawsze wybiera najprostszą.
• zasada racji dostatecznej - każde zjawisko fizyczne ma swoją przyczynę i może być wyjaśnione w oparciu o prawdy już poznane, czyli może być podana racja tłumacząca jego zaistnienie. 

Wiek XIX był triumfalnym powrotem logiki do głównego nurtu badań naukowych. Powstał wtedy nawet pogląd (nazywany logicyzmem), że że cała matematyka opiera się na logice, a nawet więcej, że matematyka jest częścią logiki. Powołując się na filozofów starożytnych (Platona i Arystotelesa) oraz nowożytnych (Leibniza), logistycy twierdzili, że matematyka nie ma własnego przedmiotu badań, lecz zajmuje się relacjami między pojęciami ogólnymi, można ją zaksjomatyzować, a rozumowania zalgorytmizować. Do grona logistyków, którzy rozwinęli algebrę logiki należeli:

• George Boole (1815-1864) - wprowadził stosowane dziś powszechnie pojęcie algebry Boole'a z dwoma wartościami logicznymi prawdy i fałszu oraz operacjami koniunkcji, alternatywy i negacji,
• August de Morgan (1806-1878) - jest autorem m.in. praw negacji koniunkcji i alternatywy,
• Gottlob Frege (1848-1925) - przedstawił ostatecznie rachunek zdań w postaci sformalizowanego systemu implikacyjno-negacyjnego wzbogaconego o kwantyfikatory, dzięki niemu logika stała się solidną teorią aksjomatyczno-dedukcyjną,
• Bertrand Russell (1872-1970) - zauważył, że system logiki Fregego jest sprzeczny, bo zawiera antynomię zbioru wszystkich zbiorów, ale kontynuował wysiłki wspólnie z filozofem Alfredem Whiteheadem (1861-1947) w celu usunięcia antynomii oraz sprowadzenia całej matematyki do zasad logiki; w dziele Principia Mathematica zbudował aksjomatyczno-dedukcyjny system logiczny składający się z 4 aksjomatów rachunku zdań i 2 aksjomatów rachunku funkcji nie dopuszczający antynomii zbioru wszystkich zbiorów.

^{Na zdjęciach od lewej: George Boole, August de Morgan, Gottlob Frege i Bertrand Russel}

Wprowadzenie logicyzmu nie powiodło się, bo niektóre twierdzenia matematyczne wymagały do swoich dowodów oprócz aksjomatów logicznych Russela także innych założeń jak np. aksjomatu nieskończoności (mówiącego, że każda liczba naturalna ma następnik) czy aksjomatu wyboru (mówiącego, że dla każdej rodziny zbiorów parami rozłącznych istnieje selektor pozwalający z każdego zbioru wybrać po jednym elemencie). Nie są to aksjomaty logiczne, gdyż postulują istnienie pewnych obiektów, czego aksjomaty logiki nie robią. Próby obejścia tej trudności nie udały się. Logicyzm odegrał jednak ważną rolę w nauce, wprowadzając zasady współczesnej logiki formalnej i ustanawiając logikę jako pełnoprawną dyscyplinę matematyczną. 

We współczesnej logice matematycznej (XIX i XX wiecznej) poczesne miejsca znajdują także polskie nazwiska: Jan Łukasiewicz (1878-1956), Leon Chwistek (1884-1944), Kazimierz Ajdukiewicz (1890-1963), Stanisław Leśniewski (1886, 1939), Otto Nikodym (1887-1974),  Alfred Tarski (1901-1983), Stanisław Ulam (1909-1984), Helena Rasiowa (1917-1994), Roman Sikorski (1920-1983) czy Jerzy Łoś (1920-1998). O tym, jak bardzo ceniono na świecie dokonania polskich logików, świadczy znana anegdota. W wywiadzie udzielonym przez Bertranda Russella "Daily Herald" z okazji 90. urodzin stwierdził on, że jego Principia są tak długie i trudne, że byłoby zdolnych je przeczytać tylko sześciu ludzi na świecie, z których trzech jest Polakami.Jedną z osób, które z pewnością miał na myśli był Alfred Tarski.

^{Na zdjęciach od lewej: Jan Łukasiewicz, Leon Chwistek, Otto Nikodym, Alfred Tarski, Stanisław Ulam}

Tarski uznawany jest (obok Arystotelesa, Fregego i Gödla) za jednego z największych logików wszech czasów. Mówi się o nim, że jest „człowiekiem, który zdefiniował prawdę”. Jego prace dotyczące semantycznej definicji prawdy i jej konsekwencji logicznych były kamieniem węgielnym współczesnej logiki i miały wielki wpływ na rozwój matematyki, filozofii, lingwistyki i podstaw informatyki. Tarski wyprowadził pojęcie prawdy jako cechę zdań logicznych należącą do języka będącego metajęzykiem wobec języka, w jakim zdania te są wypowiadane. Zapoczątkował w ten sposób nowy dział logiki matematycznej – teorię modeli. W 1939 roku wyjechał do USA w obawie przed prześladowaniami (pochodził z rodziny żydowskiej). Pozostał tam do końca życia, pracując na uniwersytetach Harwarda, Princeton i Berkeley, uznawany za geniusza.

Logika współczesna rozwija się w dynamicznym tempie. Do jej najnowszych osiągnięć należą:

• logika trójwartościowa,
• logiki wielowartościowe,
• logika modalna,
• teoria typów w językach programowania,
• teoria modeli,
• teoria modeli niestandardowych,
• logika algebraiczna,
• teoria rekursji,
• teoria dowodu.