Poniżej podajemy podstawowe własności potęgowania wraz z przykładami oraz z prostymi ćwiczeniami do samodzielnego wykonania.
Podnoszenie do potęgi naturalnej
Zapis 75 oznacza 7×7×7×7×7, bo potęgowanie jest skróconym zapisem wielokrotnego mnożenia tej samej liczby. 75 = 16 807, co można wyliczyć na kalkulatorze.
Drugie potęgi liczb nazywany krótko kwadratami, a trzecie - sześcianami, np.
16 jest kwadratem liczby 4, bo 42 = 16,
8 jest sześcianem liczby 2, bo 23 = 8.
Podnoszenie do potęgi całkowitej
Matematycy umówili się, że:
a0 = 1 - zerowa potęga każdej liczby jest jedynką, także 00=1,
a-1 = [tex]\frac{1}{a}[/tex], minus pierwsza potęga każdej liczby jest jej odwrotnością,
dzięki temu potęgowanie ma "ładne" własności.
Podnoszenie do potęgi ułamkowej
Jest to inny zapis pierwiastkowania, np.
[tex]a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}[/tex],
[tex]
a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}[/tex].
W zapisie ab = c nazywamy liczbę
a - podstawą potęgi,
b - wykładnikiem potęgi,
c - potęgą lub wynikiem potęgowania.
Własności potęgowania
ap × aq = ap+q, np. 83 × 82 = (8×8×8) × (8×8) = 8×8×8×8×8 = 85 = 83+2
ap : aq = ap-q, np. 85 : 82 = (8×8×8×8×8) : (8×8) = [tex] \frac{8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8}{8\cdot 8} [/tex] = 83 = 85-2
(a×b)p = ap × bp, np. (5×7)3 = (5×7) × (5×7) × (5×7) = 5×5×5 × 7×7×7 = 53 × 73
(a:b)p = ap : bp, np. (7:5)3 = [tex]{(\frac{7}{5})}^3[/tex] = [tex] \frac{7}{5}\cdot\frac{7}{5}\cdot \frac{7}{5}= \frac{7\cdot 7\cdot 7}{5\cdot 5\cdot 5}= \frac{7^3}{5^3}[/tex] = 73:53
[tex](a^p)^q=a^{pq} \ [/tex], np. [tex]\ (7^2)^3=7^2\cdot 7^2\cdot 7^2 =(7\cdot 7)\cdot(7\cdot 7)\cdot(7\cdot 7) = 7^6=7^{2\cdot 3}\ [/tex]
[tex]a^{-p}=(a^p)^{-1}=\frac{1}{a^p}\ [/tex] , np. [tex]2^{-3}=(2^3)^{-1}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}[/tex]
[tex]a^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{a}\ [/tex] , np. [tex]8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}=2\ [/tex]
[tex]a^{\frac{p}{q}} = (a^p)^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a^p}\ [/tex] , np. [tex]8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2}=
\sqrt[3]{64}=4\ [/tex]
A teraz spróbuj sam:
1) Oblicz.
[tex] (-\frac{1}{2})^0[/tex], [tex]-(\frac{1}{2})^0[/tex], [tex]-\frac{1^0}{2}[/tex]
2) Zapisz w postaci pojedynczej potęgi.
65 x 69 ,[tex]\ \ \ \frac{5^{21}\cdot 5^7}{5^6\cdot 5^{16}} \ \ \ [/tex] , [tex]\ \ \ (\frac{2}{3})^4 \cdot \frac{3^3}{2^4} [/tex]
711 : 72 , [tex]\ \ \ \frac{11^5\cdot 11^3}{11^9\cdot 11^2} \ \ \ [/tex], [tex]\ \ \ \frac{{(3^{-2})}^3}{{(2^{-2})}^2}\cdot \frac{2^{-5}}{3^{-4}} \ \ \ [/tex]
3) Zapisz w postaci liczby z pierwiastkiem.
[tex] 7^{\frac{1}{3}}\ \ \ , \ \ \ 7^{-\frac{1}{2}}\ \ \ , \ \ \ 7^{\frac{2}{3}}\ \ \ , \ \ \ 7^{-\frac{2}{5}} [/tex]
Potęgowanie.
Jak widać zadania z potęgowania wymagają głównie znajomości wzorów i umiejętności podstawowych działań na liczbach. Więcej informacji o potęgach można znaleźć tutaj: http://matfiz24.pl/potegi