Przed maturą (4)

autor: Jarosław Wróblewski
pracownik IM UWr

1) Czy prawdziwa jest nierówność

1a) $2\sqrt2 < 3$?

1b) $3\sqrt2 < 4$?

1c) $5\sqrt2 < 7$?

1d) $7\sqrt2 < 10$?

2) Czy trójkąt, którego pewne dwa kąty mają miary $\alpha$ i $\beta$, jest równoramienny, jeśli

2a) $\alpha=30^\circ$, $\beta=60^\circ$?

2b) $\alpha=40^\circ$, $\beta=70^\circ$?

2c) $\alpha=50^\circ$, $\beta=80^\circ$?

2d) $\alpha=60^\circ$, $\beta=90^\circ$?

3) Liczba naturalna k jest podzielna przez n wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr dziesiętnych liczby k jest podzielna przez n. Czy powyższe zdanie jest cechą podzielności przez n, jeżeli

3a) n = 3?

3b) n = 5?

3c) n = 7?

3d) n = 9?

4) Czy prawdziwa jest równość

4a) log ₇ 2 + log ₇ 3 = log ₇ 5?

4b) log ₁₁ 2 + log ₁₁ 3 = log ₁₁ 6?

4c) 3 log ₁₃ 2 = log ₁₃ 6?

4d) 3 log ₁₇ 2 = log ₁₇ 8?

5) Czy istnieje trójkąt o bokach długości

5a) 2, 7, 4?

5b) 2, 7, 6?

5c) 2, 7, 8?

5d) 2, 7, 10?

6) Czy podany wielomian przyjmuje wartości całkowite dla każdego argumentu całkowitego x?

6a) x² + x

6b) ${x^2\over2}+{x\over2}$

6c) ${x^2\over3}+{x\over3}$

6d) ${x^2\over2}-{x\over2}$

7) Czy podana liczba jest całkowita?

7a) log ₂ 2

7b) log ₂ 4

7c) log ₂ 6

7d) log ₂ 8

8) Czy podana liczba jest podzielna przez 10?

8a) 4 ²⁰⁰³ - 4

8b) 5 ²⁰⁰³ - 5

8c) 6 ²⁰⁰³ - 6

8d) 7 ²⁰⁰³ - 7

9) Czy liczba przekątnych w n-kącie wypukłym jest parzysta, jeżeli

9a) n = 4?

9b) n = 5?

9c) n = 6?

9d) n = 7?

10) Czy funkcja f (x) = x² jest monotoniczna na przedziale

10a) (-5,-2)?

10b) (-3,1)?

10c) (-1,3)?

10d) (1,2)?

11) Czy jest prawdą, że

11a) $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}{n^2+1\over 3n^2+4}={1\over4}$?

11b) $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}{4n^2+1\over 3n+1}={4\over3}$?

11c) $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}{3n^3+n+7\over 5n^3+2n^2}={3\over5}$?

11d) $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}{2n+17\over 4n^2+4n+1}={1\over2}$?

12) Czy równość $\displaystyle m^{\log_2n}=n^{\log_2m}$ jest prawdziwa dla

12a) m = 2, n = 4?

12b) m = 4, n = 8?

12c) m = 3, n = 9?o

12d) m = 5, n = 7?

13) Czy równość ${1\over n-\sqrt m}=n+\sqrt{m}$ jest prawdziwa dla

13a) m = 5, n = 2?

13b) m = 10, n = 3?

13c) m = 15, n = 4?

13d) m = 25, n = 6?

14) Liczby całkowite dodatnie a < b < c < d tworzą czterowyrazowy ciąg geometryczny. Czy stąd wynika, że

14a) liczba ac jest kwadratem liczby całkowitej?

14b)o liczba ad jest kwadratem liczby całkowitej?

14c) liczba ad jest sześcianem liczby całkowitej?

14d) liczba bcd jest sześcianem liczby całkowitej?

15) Czy równość log _a b ^. log _b c = log _a c jest prawdziwa dla

15a) a = 2, b = 4, c = 16?

15b) a = 3, b = 9, c = 81?

15c) a = 2, b = 6, c = 12?

15d) a = 3, b = 5, c = 7?

16) Czy część wspólna płaszczyzny i powierzchni bocznej walca może być

16a) okręgiem?

16b) elipsą nie będącą okręgiem?

16c) parabolą?

16d) hiperbolą?

17) Niech K_n będzie miarą kąta wewnętrznego n-kąta foremnego. Czy stąd wynika, że

17a) K₃ + K₇ + K₄₂ = 360^o?

17b) K₄ + K₆ + K₈ =360^o?

17c) 2 K₅ + K₁₀ = 360^o?

17d) 2 K₆ + K₁₂ = 360^o?

18) Czy nierówność $\left(1-\sqrt2\right)^n < \left(1-\sqrt3\right)^n$ jest prawdziwa dla

18a) n = -8?

18b) n = -3?

18c) n = 2?

18d) n = 5?

19) Niech K_R będzie objętością kuli o promieniu R, W_R objętością walca o promieniu podstawy R i wysokości R,  S_R objętością stożka o promieniu podstawy R i wysokości R. Czy stąd wynika, że

19a) K_R = W_R + S_R?

19b) 2 K_R = S_2R?

19c) 3 W_R = S_3R?

19d) 6 K_R = W_2R?

20) Dany jest trójkąt, którego długości boków są liczbami całkowitymi. Czy stąd wynika, że

20a) pole danego trójkąta jest liczbą całkowitą?

20b) pole danego trójkąta jest liczbą wymierną?

20c) wysokości danego trójkąta są liczbami całkowitymi?

20d) wysokości danego trójkąta są liczbami wymiernymi?

21) Czy z kawałka blachy w kształcie koła o promieniu 5 można wyciąć prostokąt o wymiarach

21a) 6 × 8?

21b) 7 × 7?

21c) 5 × 9?

21d) 4 × 9?

22) Czy funkcja f (x) = log _a x jest rosnąca na przedziale $(0,+\infty)$, jeżeli

22a) a = 2?

22b) a = 1 / 2?

22c) $a=\sqrt{10}-2$?

22d) $a=4-\sqrt{10}$?

23) Czy jest prawdą, że

23a) $\sin^2 29^\circ + 5\cos^2 29^\circ < 4$?

23b) $\sin^2 44^\circ + 5\cos^2 44^\circ < 3$?

23c) $\sin^2 46^\circ + 5\cos^2 46^\circ < 3$?

23d) $\sin^2 59^\circ + 5\cos^2 59^\circ < 2$?

24) Czy wśród podanych trójkątów istnieje trójkąt o polu mniejszym od 1?

24a) trójkąty o obwodzie 2003

24b) trójkąty ostrokątne wpisane w okrąg o promieniu 2003

24c) trójkąty rozwartokątne wpisane w okrąg o promieniu 2003

24d) trójkąty opisane na okręgu o promieniu 2003

25) Czy podany wielomian jest podzielny przez wielomian  x⁵ - x³?

25a) 2x²⁵ + x²⁴ - x¹³ - x³ - x²

25b) x⁵¹ - x⁵⁰ - 2x⁴⁹ + x⁴ + x³

25c) 3x³³ - x²⁸ - 2x¹⁹ + x⁸ - x⁵

25d) x⁴⁴ + x⁴³ - 2x³² - x³⁰ + x³

26) Niech  f (x) = 5x³ + 5x² + 7x + 13. Czy stąd wynika, że

26a) $f''(-1)\le -10$?

26b) $f''(0)\le 10$?

26c) $f''(1)\le 50$?

26d) $f''(3)\le 90$?

27) Ciąg (a_n) jest zbieżny do 1. Czy stąd wynika, że

27a) wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są liczbami wymiernymi?

27b) wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są liczbami całkowitymi?

27c) wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są liczbami dodatnimi?

27d) ciąg $(b_n)$ określony wzorem $b_n={a_n+2\over3a_n+4}$ jest zbieżny do 1 / 3?

28) Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej k, liczba k(k+1)(k+2)(k+3) jest podzielna przez n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

28a) n = 8?

28b) n = 9?

28c) n = 10?

28d) n = 12?

29) Liczby  p  i  p + 2 są liczbami pierwszymi. Czy stąd wynika, że

29a) liczba p + 22 jest złożona?

29b) liczba p² +1 jest złożona?

29c) liczba p +10 jest złożona?

29d) liczba p + 32 jest złożona?

30) Wykonano 6 rzutów monetą. Niech p_n będzie prawdopodobieństwem, że wypadło dokładnie n orłów. Czy stąd wynika, że

30a) p₃ + p₆ = p₄ + p₅?

30b) p₁ < 1 / 10?

30c) p₂ < 1 / 4?

30d) p₃ < 1 / 3?