Przed maturą (5)

autor: Jarosław Wróblewski
pracownik IM UWr

1) Czy prawdziwa jest nierówność

1a) log ₄ 5 < log ₈ 11

1b) log ₅ 9 < log ₁₁ 27

1c) log ₅ 4 < log ₂₅ 17

1d) log ₄ 7 < log ₁₇ 49

2) Czy podana liczba jest podzielna przez 27?

2a) 1234 ⁹⁹⁹

2b) 2727 ⁴⁴⁴⁴

2c) 12345 ⁷⁷⁷⁷

2d) 123456 ⁶⁶⁶⁶

3) Czy prawdziwa jest nierówność

3a) cos 30^o < sin 30^o + 1/2?

3b) cos 45^o < sin 45^o?

3c) cos 60^o < sin 60^o -1/2?

3d) cos 120^o < sin 120^o -1?

4) Czy liczba n jest podzielna przez liczbę d, jeżeli

4a) n = 10 ³⁰ - 1,  d = 10 ³ - 1 

4b) n = 10 ⁴⁴ + 1,  d = 10 ⁴ + 1

4c) n = 10 ⁵⁰ - 1,  d = 10 ⁵ + 1

4d) n = 10 ⁶⁰ + 1,  d = 10 ⁶ + 1

5) Czy ciąg (a_n), określony podanym wzorem, ma przy n dążącym do nieskończoności granicę równą 2/3?

5a) $\displaystyle a_n={n^2+2\over n^3+3}$

5b) $\displaystyle a_n={n+2\over n+3}$

5c) $\displaystyle a_n={2n^{23}+23\over 3n^{23}+23}$

5d) $\displaystyle a_n={n+3\over n+5}$

6) Czy podana liczba ma w zapisie dziesiętnym więcej niż 1000 cyfr?

6a) 2 ²²²²

6b) 333 ³³³

6c) 111 ⁵⁵⁵

6d) 99999 ⁹⁹o

7) Czy podane liczby tworzą trójwyrazowy ciąg geometryczny?

7a) 16,  20,   25

7b) log ₂ 2,     log ₂ 4,     log ₂ 16

7c) log ₃ 2,     log ₃ 4,     log ₃ 16

7d) log ₂ 16,     log ₂ 20,     log ₂ 25

8) Dwa boki trójkąta mają długości 4 i 5. Czy trójkąt jest ostrokątny, jeżeli trzeci bok ma długość

8a) 2?

8b) 3?

8c) 6?

8d) 7?

9) Czy istnieje czworokąt wypukły o bokach długości

9a) 1, 2, 3, 4?

9b) 2, 3, 4, 8?

9c) 4, 5, 10, 20?

9d) 3, 4, 5, 13?

10) Czy istnieje liczba rzeczywista x, dla której wyrażenie $\displaystyle {x^2+4\over x^2+1}$ przyjmuje wartość

10a) 1?

10b) 2?

10c) 4?

10d) 8?

11) Czy funkcja  f (x) = x ⁴ - 6x ² + 9 jest monotoniczna na przedziale

11a) (-4, -2)?

11b) (-2, 1)?

11c) (1, 3)?

11d) (3, 6)?

12) Czy spośród dowolnych czterech różnych liczb całkowitych dodatnich można wybrać dwie,o

12a) których suma jest parzysta?

12b) których różnica jest nieparzysta?

12c) których suma jest podzielna przez 3?

12d) których różnica jest podzielna przez 3?

13) Liczby rzeczywiste x, y spełniają nierówności y $\ge$ x ² oraz x+y $\le$ 0. Czy stąd wynika, że

13a) x $\le$ 0?

13b) y $\le$ 2?

13c) x $\ge$ -1?

13d) y $\ge$ 1?

14) Niech   f (x) = x ³ - 10x ² + x.  Czy wtedy

14a) $f'(0) > 0$?

14b) $f'(1) > 0$?

14c) $f'(5) > 0$?

14d) $f'(10) > 0$?

15) Dane są liczby całkowite a, b $\in$ {0, 1, 2,...,100}. Wiadomo, że reszty z dzielenia liczb a i b przez m są równe, oraz że reszty z dzielenia liczb a i b przez n są równe. Czy stąd wynika, że a = b, jeżeli

15a) m = 7,   n = 11?

15b) m = 10,   n = 14?

15c) m = 13,   n = 17?

15d) m = 16,   n = 20?

16) Czy monetami o nominałach 7 i 10 dukatów można wypłaocić

16a) 34 dukaty?

16b) 36 dukatów?

16c) 53 dukaty?

16d) 86 dukatów?

17) O liczbach rzeczywistych  x₁, x₂, x₃,..., x_n wiadomo, że każda z n sum x₁ + x₂, x₂ + x₃, x₃ + x₄, ..., x_n-1 + x_n, x_n + x₁ jest liczbą wymierną.
Czy stąd wynika, że wszystkie liczby x₁, x₂, x₃,..., x_n są wymierne, jeżeli

17a) n = 7?

17b) n = 8?

17c) n = 9?

17d) n = 10?

18) Czy istnieją takie liczby rzeczywiste dodatnie x, y, z, że  x + y + z = 6  oraz

18a) xyz = 6?

18b) xyz = 7?

18c) xyz = 8?

18d) xyz = 9?

19) Zbiór A jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych dodatnich, mającym następujące własności:
-   liczba 1 jest elementem zbioru A,
-   liczba 3 nie jest elementem zbioru A,
-   dla dowolnej liczby n ze zbioru A, liczba 2n także jest elementem zbioru A,
-   dla dowolnej liczby n > 7 ze zbioru A, liczba n - 7 także jest elementem zbioru A.
Czy stąd wynika, że

19a) liczba 7 jest elementem zbioru A?

19b) liczba 9 jest elementem zbioru A?

19c) liczba 12 nie jest elementem zbioru A?

19d) liczba 14 nie jest elementem zbioru A?

20) Niech P_n oznacza liczbę przekątnych n-kąta foremnego. Czy dla dowolnej liczby całkowitej n$\ge$4 zachodzi wynikanie

20a) jeżeli liczba n jest parzysta, to liczba P_n jest parzysta?

20b) jeżeli liczba n jest podzielna przez 5, to liczba P_n jest podzielna przez 5?

20c) jeżeli liczba P_n jest podzielna przez 3, to liczba P_n jest podzielna przez 9?

20d) jeżeli liczba n jest podzielna przez 8, to liczba P_n jest podzielna przez 4?

21) W urnie jest m kul białych i n kul czarnych. Losujemy (bez zwracania) dwie kule.
Niech p(m,n) będzie prawdopodobieństwem, że obie wylosowane kule są tego samego koloru.
Czy p(m,n) = 1/2, jeżeli

21a) m = 10,    n = 6?

21b)o m = 10,    n = 9?

21c) m = 10,    n = 12?

21d) m = 10,    n = 15?

22) Niech a$\oplus$b oznacza resztę z dzielenia liczby a+b przez 2 ⁸ = 256, natomiast niech c$\%$d oznacza resztę z dzielenia liczby c przez d. Czy wtedy

22a) $(100\oplus137)\%3=(100+137)\%3$?

22b) $(100\oplus147)\%4=(100+147)\%4$?

22c) $(100\oplus157)\%6=(100+157)\%6$?

22d) $(100\oplus167)\%8=(100+167)\%8$?

23) Czy jeden z kątów trójkąta o bokach długości $2,\ \sqrt 6,\ 1{+}\sqrt{3}$ ma miarę

23a) 30^o?

23b) 60^o?

23c) 75^o?

23d) 105^o ?

24) Czy podana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y?

24a) 4x ² + 12xy + 7y ² $\ge$ 0

24b) 4x ² - 12xy + 8y ² $\ge$ 0

24c) 4x ² - 12xy + 9y ² $\ge$ 0

24d) 4x ² + 12xy + 10y ² $\ge$ 0

25) Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jeżeli suma oczek na obu kostkach jest mniejsza od 5, powtarzamy rzut obiema kostkami. Jeżeli suma oczek na obu kostkach ponownie jest mniejsza od 5, ponownie powtarzamy rzut obiema kostkami itd. Rzucanie kostkami przerywamy, gdy suma oczek wyrzuconych w ostatnim rzucie jest większa od 4. Niech p_n będzie prawdopodobieństwem, że suma oczek wyrzuconych w ostatnim rzucie jest równa n. Czy stąd wynika, że

25a) p₅ = 1/7?

25b) p₆ = 1/6?

25c) p₇ = 1/5?

25d) p₈ =1/6?

26) Zgodnie z prawem wzajemności reszt kwadratowych, dla różnych liczb pierwszych nieparzystych p i q, symbol Legendre'a $\left({p\over q}\right)$ przyjmuje wartość 1 lub -1, a ponadto zachodzi równość $\left({p\over q}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\cdot\;\left({q\over p}\right)\;.$ Czy z powyższego wynika, że

26a) $\left({3 \over 5}\right)=\left({5 \over 3}\right)$?

26b) $\left({7 \over 11}\right)=\left({11 \over 7}\right)$?

26c) $\left({13 \over 17}\right)=\left({17 \over 13}\right)$?

26d) $\left({19 \over 23}\right)=\left({23 \over 19}\right)$?

27) Działanie m$\diamond$n zdefiniowane jest następująco. Rozkładamy każdą z liczb m, n na sumę różnych potęg dwójki, wykreślamy składniki powtarzające się w obu sumach, a następnie dodajemy składniki niewykreślone w obu sumach.
Na przykład dla m = 13 i n = 6 mamy 13 = 8+4+1 oraz 6 = 4+2. Pomijając wspólny składnik 4 otrzymujemy 13$\diamond$6 = 8+2+1 = 11. Czy zgodnie z powyższą definicją

27a) 3$\diamond$4 = 7?

27b) 7$\diamond$3 = 4?

27c) 9$\diamond$5 = 13?

27d) 7$\diamond$11 = 12?

28) W czworokącie wypukłym sumy kwadratów długości przeciwległych boków są równe. Czy stąd wynika, że

28a) na czworokącie można opisać okrąg?

28b) w czworokąt można wpisać okrąg?

28c) przekątne czworokąta dzielą się na połowy?

28d) przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym?

29) Dany jest 11-kąt foremny A₁A₂A₃...A₁₁. Niech  P(i,j,k) oznacza pole czworokąta A₁A_iA_jA_k. Czy stąd wynika, że

29a) P(5,6,7) = P(2,6,7)?

29b) P(3,6,9) = P(4,7,10)?

29c) P(2,3,5) = P(2,3,9)?

29d) P(3,5,8)  = P(3,7,9)?

30) Ciąg (F_n) jest określony wzorami F₁ = F₂ = 1 oraz  F_n+2 = F_n+1 + F_n dla n$\ge$1. Czy stąd wynika, że w ciągu (F_n) istnieje wyraz podzielny przez

30a) 2004?

30b) 2005?

30c) 2006?

30d) 2007?