Równania stopnia zero

Data ostatniej modyfikacji:
2010-07-10

Równaniami stopnia zero nazywamy takie równania, w których wszystkie niewiadome występują w zerowych potęgach, tzn. w zapisie równania praktycznie nie ma niewiadomych, bo przecież  x0=1. Zatem zamiast pisać  ax0+b=0,  równanie ma postać:

a + b = 0,

gdzie a i b oznaczają stałe liczbowe. Taką postać przybiera każde równanie stopnia zero, bez względu na liczbę występujących w nim niewiadomych. Jeśli z zapisu równania nie wynika, z iloma niewiadomymi jest to równanie, informacja taka musi znaleźć się w treści zadania. Inaczej równanie może nie dać się rozwiązać.


Przykłady

  • 1 = 0
  • 0 = 0
  • 5 + 3 = 7
  • (100 + 1)(100 - 1) = 10000 - 1
  • 2x0 = 7           (równanie z jedną niewiadomą)
  • x0+y0z0      (równanie z trzema niewiadomymi)

 

Kontrprzykłady

  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5                    (to nie jest równanie)
  • $\frac{2}{0}=3$                                       (to nie jest równanie)
  • x = 0                                       (to nie jest równanie stopnia zero)
  • x0 + y1z2                             (to nie jest równanie stopnia zero)

 

 

Klasyfikacja równań stopnia zero ze względu na rodzaj rozwiązania

Równanie stopnia zero - jak każda równość arytmetyczna, czyli nie zawierająca zmiennych - może być albo sprzeczne (tzn. zawsze fałszywe), albo tożsamościowe (tzn. zawsze prawdziwe). Zatem jego rozwiązaniem  jest albo zbiór pusty$\emptyset$(tzn. równanie nie ma pierwiastków), albo

  • cały zbiór liczb rzeczywistych R - jeśli równanie było z jedną niewiadomą (tzn. pierwiestkiem równania jest każda liczba a$\in$R,
  • zbiór wszsystkich par liczb rzeczywistych R2 - jeśli równanie było z dwiema niewiadomymi (tzn. pierwiastkiem równania jest każda para (a, b)$\in$R2,
  • zbiór wszystkich trójek liczb rzeczywistych R3 - jeśli równanie było z trzema niewiadomymi (tzn. pierwiastkiem równania jest każda trójka uporządkowana (a, b, c)$\in$R3 itd.

Przykłady

a) równanie sprzeczne (nie ma pierwiastków, rozwiązaniem jest zbiór pusty$\emptyset$)
1 = 2
2 · 2 = 5
2x0 + 3y0 = 4z0

b) równanie tożsamościowe z jedną niewiadomą
1 = 1
Pierwiastkiem tego równania jest każda liczba rzeczywista, np. 2, -7, 3/4 lub π.
Rozwiązaniem równania jest zbiór R.

c) równanie tożsamościowe z dwiema niewiadomymi
2x0 + 3y0 = 3x0 + 2y0
Pierwiastkiem tego równania jest każda para liczb rzeczywistych, np. (0, 0), (-1, -3), (3, -√2).
Rozwiązaniem równania jest zbiór R2

d) równanie tożsamościowe z czterema niewiadomymi
2 · 2 = 4
Pierwiastkiem tego równania jest każda czwórka uporządkowana liczb rzeczywistych, np. (0, 2, 1, 3), (-4, 1/2, 12, √3).
Rozwiązaniem równania jest zbiór R4. 

 

Rozwiązywanie równań stopnia zero

Rozwiązywanie równania stopnia zero sprowadza się do jego uproszczenia i zbadania, czy jest to równanie:

  • sprzeczne - wtedy rozwiazaniem jest zbiór pusty $\emptyset$,
  • tożsamościowe - wtedy trzeba stwierdzić, z iloma niewiadomymi jest to równanie i podać odpowiednie rozwiązanie.

Przykłady

1) Rozwiaż równanie z jedną niewiadomą 3 = 0.

Rozwiązanie
Równanie jest sprzeczne. Nie ma pierwiastków. Jego rozwiązaniem jest$\emptyset$.

2) Rozwiaż równanie z trzema niewiadomymi 3 = 0.

Rozwiązanie
Równanie jest sprzeczne. Nie ma pierwiastków. Jego rozwiązaniem jest$\emptyset$.

3) Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą $(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})z^0=\frac{1}{6}$.

Rozwiązanie
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})z^0=\frac{1}{6}$   lewa strona: wykonujemy działanie w nawiasie
$\frac{1}{6}z^0=\frac{1}{6}$           lewa strona: wykonujemy potęgowanie
$\frac{1}{6}\cdot1=\frac{1}{6}$        lewa strona: wykonujemy mnożenie
$\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$
Równanie jest tożsamościowe. Jego pierwiastkiem jest każda liczba rzeczywista. Jego rozwiązaniem jest zbiór R.

4) Rozwiąż równanie z trzema niewiadomymi $(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})x^0z^0=\frac{1}{6}y^0$.

Rozwiązanie
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})x^0z^0=\frac{1}{6}y^0$   lewa strona: wykonujemy działanie w nawiasie
$\frac{1}{6}x^0z^0=\frac{1}{6}y^0$           wkonujemy potęgowanie
$\frac{1}{6}\cdot1=\frac{1}{6}\cdot1$         wykonujemy mnożenie
$\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$
Równanie jest tożsamościowe. Jego pierwiastkiem jest każda trójka uporządkowana liczb rzeczywistych. Jego rozwiązaniem jest zbiór R3.

5) Rozwiąż równanie 70x0 + 60 - z0 + 30x0 + 12y0  = 72 + 99y0.

Rozwiązanie
70x0 + 60 - z0 + 30x0 + 12y0  = 72 + 99y0       wykonujemy potęgowanie
70 · 1 + 60 - 1 + 30 · 1 + 12 · 1 = 72 + 99 · 1   wykonujemy mnożenie
70 + 60 - 1 + 30 + 12 = 72 + 99                       wykonujemy dodawanie i odejmowanie
171 = 171
Równanie jest tożsamościowe. Domyślamy się, że jest to równanie z trzema niewiadomymi. Jego pierwiastkiem jest każda trójka uporządkowana liczb rzeczywistych. Jego rozwiązaniem jest zbiór R3.

6) Rozwiąż równanie 171=171.

Rozwiązanie
Równanie jest tożsamościowe, jednak nie wiemy, z iloma niewiadomymi. Nie potrafimy podać rozwiązania.    

 

A teraz spróbuj sam

1) Wskaż równania stopnia zero. Dlaczego odrzuciłeś pozostałe?

  • 0 = 0
  • 101 + 102 = 101102
  • x - x = 5 - 5
  • 30 + y = 0
  • 3 + y0 = 0
  • (3 + y)0 = 0
  • 12 + 22 + 32 + ... + n2 = $\frac{n(n + 1)(2n + 5)}{6}$ dla pewnej ustalonej liczby naturalnej n
  • $1^{x^0} = 1$
  • $x^{0 + y^0} = 0^z$

2) Rozwiąż poniższe równania.

  • 2 + 0 + 1 + 2 = 2012, jako równanie z jedną i dwiema niewiadomymi
  • z0= 1, jako równanie z jedną i dwiema niewiadomymi
  • $\sqrt{2} + \sqrt{1,7} = \sqrt{3,7}$
  • $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \pi$
  • $x^{0^{1^{2^{3^{4^{5}}}}}} = 1^{2^{3^{4^{5}}}}$
  • $(\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^{-x^0} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - x^0$
  • 1y10 + 3y20 + ... + 97y480 + 99y490 = 492
  • $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + ...}}} = \sqrt{2}$
  

Powrót na górę strony