Równania liniowe z jedną niewiadomą

Równania z jedną niewiadomą zawierają tylko jedną zmienną, najczęściej oznaczaną jedną z ostatnich liter alfabetu, np. x, y, z. Równania liniowe (nazywane też równaniami stopnia pierwszego) to takie równania, w których niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze. Zatem równanie liniowe z jedną niewiadomą wygląda na przykład tak:

ax + b = 0,

gdzie a i b oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym a≠0, a b może być zerem. Równanie takie może też wyglądać trochę inaczej, ale zawsze da się łatwo do powyższej postaci doprowadzić. Przyjrzyj się poniższym przykładom.

Przykłady

• 4x+5=0
• $-\frac{1}{2}x=0$
• $\sqrt{2}=(-2)y$
• 2x + 3x - 12 = 7
• 5x - 2x + 3 = 7x + 2x - 12
• 2y - 3² = 3(y-1)
• x = x
• 2z-22=0,5(z-11)

Kontrprzykłady

• 4-x                         (to nie jest równanie)
• 0,321=0                 (to nie jest równanie liniowe)
• x²+1=0                  (to nie jest równanie liniowe)
• 2x-3y=4                 (to nie jest równanie z jedną niewiadomą)

Pierwiastki i rozwiązanie równania

Każdą liczbę, która spełnia równanie, to znaczy podstawiona w miejsce niewiadomej daje równość prawdziwą, nazywamy pierwiastkiem tego równania, a zbiór wszystkich pierwiastków nazywamy rozwiązaniem równania. Jeśli równanie nie ma pierwiastków, mówimy że jego rozwiązaniem jest zbiór pusty. Na przykład liczba 3 spełnia równanie x-1=2, więc jest pierwiastkiem tego równania, a liczba 5 tego równania nie spełnia, więc nie jest pierwiastkiem równania. To równanie ma tylko jeden pierwiastek, zatem rozwiązaniem tego równania jest zbiór {3}.

Pierwiastkiem równania z jedną niewiadomą (o ile taki pierwiastek w ogóle istnieje) jest zawsze liczba, a rozwiązaniem równania jest zbiór liczb (nawet jeśli zawiera tylko jedną liczbę, tzn. jest zbiorem jednoelementowym, lub jeśli nie zawiera żadnej liczby, tzn. jest zbiorem pustym).

Pamiętaj: równanie może mieć kilka pierwiastków, ale zawsze ma tylko jedno rozwiązanie.

Typy równań liniowych z jedną niewiadomą

Równanie liniowe może być spełnione przez jedną liczbę lub nieskończenie wiele liczb. Może także nie być spełnione przez żadną liczbę. Dlatego wyróżniamy kilka typów tych równań.

• Równanie tożsamościowe, np. 2x +1 = 2x +1
  To równanie ma nieskończenie wiele pierwiastków, jego rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R.
• Równanie sprzeczne, np. 3x + 1 = 3x + 7
  To równanie nie ma żadnego pierwiastka, jego rozwiązaniem jest zbiór pusty.
• Równanie oznaczone, np. 2x = 4
  To równanie ma jeden pierwiastek, jest nim liczba 2.

Rozwiązywanie równań liniowych z jedną niewiadomą

Jeśli równanie można doprowadzić do postaci ax + b = 0 (gdzie a≠0), to jest ono oznaczone. Do jego rozwiązania stosujemy metodę przekształcania do postaci równoważnej:

• od obu stron równania odejmujemy tę samą liczbę b
  ax + b = 0   /-b
  ax = -b
• obie strony równania dzielimy przez tę samą liczbę a, bo jest różna od zera
  ax = -b   /:a
  x =$-\frac{b}{a}$

Zatem równanie takie spełnia tylko jedna liczba $-\frac{b}{a}$. Mówimy że:

• pierwiastkiem równania jest liczba $-\frac{b}{a}$
• rozwiązaniem równania jest zbiór $\{-\frac{b}{a}\}$

Przykłady

1) 4x - 3 = 0
Rozwiązanie
4x - 3 = 0   /+3
4x = 3   /:4
x = 3/4
Pierwiastkiem równania jest ${\frac{3}{4}}$.

2) $\frac{1}{5}x+2=7$
Rozwiązanie
$\frac{1}{5}x+2=7$  /-2
$\frac{1}{5}x=5$  /·5
x = 25
Pierwiastkiem równania jest 25.

3) 3x +7x - 5x + 2 = 2(4x-3)
Rozwiązanie
3x +7x - 5x + 2= 2(4x-3)   Lewa strona: wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
(3+7-5)x + 2 = 2(4x-3)      Prawa strona: włączamy wspólny czynnik do nawiasu.
(3+7-5)x + 2 = 8x - 6        Lewa strona: wykonujemy działanie w nawiasie
5x + 2 = 8x - 6   /-5x+6
8 = 3x   /:3
$\frac{8}{3}=x$
Pierwiastkiem równania jest $\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$

4) $\frac{1}{2}y+\sqrt{2}=5$
Rozwiązanie
$\frac{1}{2}y=5-\sqrt{2}$ /·2
$y=2(5-\sqrt{2})=10-2\sqrt{2}$
Pierwiastkiem równania jest  10-2√2.

A teraz spróbuj sam

1) Wskaż równania liniowe z jedną niewiadomą. Dlaczego odrzuciłeś pozostałe?

•  18x + 18 = 1818
  To jest równanie liniowe z jedną niewiadomą.
•  y - 13 = x - 13
  To nie jest równanie z jedną niewiadomą.
• 123(x + 456) = 123x + 456
  To jest równanie liniowe z jedną niewiadomą.
• 1² + 2² + 3² + 4² + z² = 6²
  To nie jest równanie liniowe.
• 2¹⁰ - x = 1000
  To jest równanie liniowe z jedną niewiadomą.
• 2¹⁰ - 24 = 10^x
  To nie jest równanie liniowe.
• z + 2z + 3z + ... + 98z + 99z + 100z = 50·101z
  To jest równanie liniowe z jedną niewiadomą.
• $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + x}}} = \frac{3x + 5}{2x + 3}$
  To nie jest równanie liniowe.
• $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}$, gdzie a i b są pewnymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi
  To nie jest równanie liniowe.

2) Rozwiąż poniższe równania i podaj ich pierwiastki.

• x = 0

Pierwiastkiem równania jest 0.
• 2y + 6 = 0
  Pierwiastkiem równania jest (-3).
• 1 - 3z = (-2)
  Pierwiastkiem równania jest 1.
• 0 = s + 0,25(7-12s)
  Pierwiastkiem równania jest $\frac{7}{8}$.
• 2x - 7x + 3(2-3x) = 12x - 8x - 2(7-x)
  Pierwiastkiem równania jest 1.
• $\frac{\frac{1}{4}t-4}{3}=\frac{\frac{1}{3}t-3}{4}$
  To równanie nie ma żadnego pierwiastka.
• $u^2-\sqrt{3}=(u-\sqrt{3})^2$
  Pierwiastkiem równania jest $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$.
• $(v+1)^3-(v+1)^2+(v+1)^1-(v+1)^0=v(v^2+2v+2)$
  Pierwiastkiem równania jest każda liczba rzeczywista.