Siatki platońskich modeli sferycznych

Wykonanie modeli sferycznych wielościanów platońskich nie jest specjalnie trudne, choć (jak zawsze) wymaga pewnej staranności. Posłużymy się pierścieniami kołowymi, które w modelu będą odpowiednikami okręgów wielkich na sferze. Stosunek promienia wewnętrznego do zewnętrznego w takim pierścieniu może być w zasadzie dowolny. Tutaj przyjmiemy, że promień wewnętrzny stanowi 80% zewnętrznego.

Przypomnijmy szczegóły konstrukcji poszczególnych łuków sferycznej wersji sześcianu i ośmiościanu (rys. 1 i 2). Stosunek długości boków prostokąta na rys. 1 wynosi √2, co daje kąty środkowe o miarach ok. 35°15'oraz 54°45'. Natomiast wszystkie kąty środkowe na rys. 2 mają miary 45°.

rys. 1                                                              rys. 2

Model składa się z 72 łuków - po 24 każdego rodzaju. Można wyciąć każdy z nich osobno i połączyć je "na styk". W ten sposób wykonane zostały modele zaprezentowane tutaj. Proponuję jednak inną metodę, przy zastosowaniu której połączenie poszczególnych elementów będzie prostsze. Przy okazji będzie można uzyskać dodatkowy, ciekawy efekt.

Wszystkie trójkąty sferyczne występujące w tej figurze są przystające, jednak każde dwa mające wspólny bok są lustrzanymi odbiciami i mają się do siebie tak, jak lewa dłoń do prawej. Wykonanie całego modelu wymaga więc sklejenia 24 trójkątów każdego rodzaju i połączenia ich. Dodatkowy efekt uzyskamy, wykonując trójkąty każdego typu w innym kolorze (fot. 1).

fot. 1

Kliknięcie w zamieszczone poniżej linki powoduje otwarcie w nowym oknie odpowiednich diagramów.

trójkąt sferyczny L                                           trójkąt sferyczny P    

Na rysunkach oprócz łuków zaznaczony jest także środek pierścienia, co umożliwia dokładne wycięcie elementów przy użyciu nożocyrkla (patrz np. tutaj). Dla korzystających z nożyczek punkt ten jest oczywiście niepotrzebny i pojedyncze elementy można upakować tak, aby wszystkie mieściły się na jednej stronie formatu A4. Kliknięcie w poniższe linki powoduje otwarcie w nowym oknie odpowiednich diagramów.

24 trójkąty sferyczne L                                      24 trójkąty sferyczne P

Po wycięciu elementy zaginamy wzdłuż zaznaczonych linii i sklejamy ich końce. Tak przygotowane trójkąty łączymy w całość, pamiętając przy tym, że każdorazowo do trójkąta typu L doklejamy trójkąt typu P. Użycie dwóch kolorów ułatwia kontrolowanie sposobu doklejania poszczególnych elementów.

W podobny sposób można wykonać modele sferycznego pozostałych wielościanów platońskich.

W przypadku czworościanu trójkąty sferyczne są równoramienne i dlatego wystarczy tylko jeden ich typ (choć oczywiście w dalszym ciągu można użyć dwóch kolorów). Odpowiednie kąty środkowe mają miary około 54°44', 54°44' oraz 70°32'. Potrzebne są 24 elementy.

trójkąt sferyczny - czworościan

12 trójkątów sferycznych - czworościan

Sferyczny dwunastościan i dwudziestościan znów wymaga dwóch typów trójkątów (po 60 każdego rodzaju). Kąty środkowe mają około 20°54', 37°22' i 31°43'.

trójkąt sferyczny - 12ścian i 20ścian L                           trójkąt sferyczny - 12ścian i 20ścian P

30 trójkątów sferycznych -12ścian i 20ścian L    30 trójkątów sferycznych - 12 ścian i 20ścian P

Rysunki i diagramy zostały przygotowane przy użyciu programu Wingeom.