Siatki wielościanów Catalana

Data ostatniej modyfikacji:
2008-10-24

Wielościany Catalana są dualne do archimedesowych, dlatego w każdym wielościanie Catalana wszystkie ściany są przystające (bo naroża dualnego wielościanu archimedesowego są przystające). Ściany te jednak nie są wielokątami foremnymi, dlatego warto powiedzieć kilka zdań na temat sposobu ich konstrukcji. Opiszemy ją na przykładzie wielościanu dualnego do czworościanu ściętego, czyli czworościanu potrójnego.

Rozważmy jeden z wierzchołków czworościanu ściętego i zaznaczmy na każdej wychodzącej z niego krawędzi punkt leżący w ustalonej odległości od tego wierzchołka. Punkty te wyznaczają przekrój wielościanu, który nazywamy figurą wierzchołkową. Przykład takiego przekroju pokazuje rys. 1. "Ustalona odległość" jest w tym przypadku długością krawędzi wielościanu. Figura wierzchołkowa jest trójkątem równoramiennym ABC, w którym AB jest krawędzią wielościanu, a BC i AC są krótszymi przekątnymi sześciokątów będących ścianami czworościanu ściętego.

Rys. 1 Rys. 2

Opiszmy na trójkącie ABC okrąg i poprowadźmy styczne do tego okręgu w punktach A, B oraz C (rys. 2). Wyznaczają one trójkąt KLM, który jest właśnie ścianą wielościanu dualnego do czworościanu ściętego. Układ ścian w wierzchołku czworościanu ściętego to 3-6-6 (w narożu schodzi się trójkąt i 2 sześciokąty), dlatego czworościan potrójny, jako wielościan dualny do czworościanu ściętego oznacza się symbolem V3,6,6.

W analogiczny sposób można wyznaczyć ściany pozostałych wielościanów Catalana.

Niektóre wielościany Catalana mają bardzo dużo ścian o nietypowym kształcie (np. 120 niemal prostokątnych trójkątów). Z tego powodu trudno jest przygotować ich siatki tak, aby mieściły się na formacie A4. Dlatego poniżej zamieszczamy pełne siatki tylko dziewięciu spośród 13 wielościanów z tej rodziny. Jednak przy wszystkich bryłach zamieszczamy fragment siatki oraz informację o liczbie elementów potrzebnych do wykonania całego modelu. Rysunki te pojawiają się w osobnym oknie po kliknięciu w odpowiedni napis.

Dwa wielościany Catalana V3,3,3,3,4 oraz V3,3,3,3,5 (podobnie jak ich archimedesowe odpowiedniki) istnieją w wersjach lewo- i prawoskrętnej. Wersje te mają się tak do siebie, jak lewa dłoń do prawej, a ich siatki są lustrzanym odbiciem.

Czworościan potrójny V3,6,6