Tutaj podajemy sposoby sprytnego wykonywania niektórych działań. Stosowanie tych tricków ułatwia szybkie prowadzenie obliczeń w pamięci. Okazuje się, że nawet mnożenie i dzielenie przez niektóre liczby jest bardzo łatwe, nie musimy znać na pamięć tabliczki mnożenia, nie potrzebujemy kalkulatora ani algorytmów działań pisemnych. Wystarczy trochę pokombinować.
Czy potrafisz powiedzieć, z jakich własności działań korzysta się w tych rachunkach? Spróbuj wymyślić własne techniki sprytnych rachunków.
Grupowanie do dziesiątek
- Czasami warto zmienić kolejność składników i połączyć je tak, aby dodawane liczby sumowały się do pełnych dziesiątek, np. 2 + 47 + 55 + 13 + 65 + 8 = (12 + 8) + (47 + 13) + (55 + 65) = = 20 + 60 + 120 = 200
- Także zmiana kolejności i grupowanie czynników może ułatwić obliczenia, np. 4 ∙ 13 ∙ 25 = (4 ∙ 25) ∙ 13 = 100 ∙ 13 =
1300 - W dodawaniu jeden ze składników można zwiększyć, a inny zmniejszyć o tę samą liczbę, aby otrzymać wielokrotność dziesiątki, np. 19 + 8 = (19 + 1) + (8 – 1) = 20 + 7 = 27
- W odejmowaniu odjemną i odjemnik można na raz zwiększyć lub zmniejszyć o tę samą liczbę, aby otrzymać wielokrotność dziesiątki, np. 14 – 9 = (14 + 1) – (9 + 1) = 15 – 10 = 5
Mnożenie i dzielenie na raty
- Mnożenie i dzielenie przez liczby złożone można wykonać krok po kroku, np.
41 · 6 = 41 · 3 · 2 = (41 · 3) · 2 = 123 · 2 = 246
72 : 6 = 72 : 2 : 3 = (72 : 2) : 3 = 36 : 3 = 12
Rozgrupowanie na mniejsze/wygodniejsze liczby
- Mnożenie może być łatwiejsze, gdy rozłożymy jeden z czynników na sumę lub różnicę, np.
4 ∙ 17 = 4 ∙ (10 + 7) = 4∙10 + 4∙7 = 40 + 28 = 68
4 ∙ 17 = 4 ∙ (20 − 3) = 4·20 − 4∙3 = 80 − 12 = 68 - Dzielenie także może być łatwiejsze, gdy rozłożymy dzielną na sumę lub różnicę, np.
72 : 12 = (60 + 12) : 12 = 60:12 + 12:12 = 5 + 1 = 6
108 : 12 = (120 − 12) : 12 = 120:12 − 12:12 = 10 + 1 = 11
Uwaga! Nie wolno tego robić z dzielnikiem. Dlaczego?
Mnożenie i dzielenie przez 10, 100, 1000, ...
- aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 10, wystarczy dopisać 0 na końcu tej liczby, podobnie przy mnożeniu przez 100 dopisujemy dwa zera, przez 1000 - trzy itd.
- ogólnie na końcu mnożonej liczby całkowitej dopisujemy tyle zer, ile ich jest po jedynce w drugim czynniku, np. 234×105 = 234×100 000 = 23 400 000
- aby pomnożyć liczbę dziesiętną przez 10, wystarczy przesunąć przecinek w tej liczbie o jedno miejsce w prawo, podobnie przy mnożeniu przez 100 przesuwamy przecinek o dwa miejsca, przez 1000 - o trzy itd.
- ogólnie przesuwamy przecinek w mnożonej liczbie dziesiętnej o tyle miejsc w prawo, ile jest zer po jedynce w drugim czynniku, np. 12,345 678 × 105 = 12,345 678×100 000 = 1 234 567,8
- jeśli liczba zer w drugim czynniku jest większa niż liczba cyfr po przecinku w pierwszym czynniku, na końcu tego czynnika dopisujemy tyle zer, aby przecinek można było swobodnie przesunąć, np. 123,45 × 105 = 123,45 × 100 000 = 123,45000 × 100 000 = 12345000, bo przecież 123,45 × 100 000 = 123,45 ×100×1000 = 12 345×1000 = 1 2345 000
- aby podzielić liczbę całkowitą przez 10, dopisujemy przecinek po cyfrze jedności i przesuwamy go o jedno miejsce w lewo; podobnie przy dzieleniu przez 100 przesuwamy go o dwa miejsca, przez 1000 - o trzy itd.
- przy dzieleniu liczby dziesiętnej przez 10, 100, 100, również przesuwamy przecinek w lewo odpowiednio o jedno, dwa lub trzy miejsca,
- ogólnie przesuwamy przecinek w dzielonej liczbie o tyle miejsc w lewo, ile jest zer po jedynce w dzielniku, np. 123456,7 : 105 = 123456,7 : 100 000 = 1,234567
- jeśli liczba zer w dzielniku jest większa niż liczba cyfr przed przecinkiem w dzielnej, na początku dzielnej dopisujemy tyle zer, aby przecinek można było swobodnie przesunąć, np. 123,45 : 105 = 123,45 : 100 000 = 000123,45 : 100 000 = 0,0012345
A teraz spróbuj sam:
1) 13·100
2) 14·1000
3) 123,456·100
4) 123,456·10000
5) 200:10
6) 123,456:100
7) 12:100
8) 145:100000
Mnożenie przez 11
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 11, dopisujemy na końcu zero i dodajemy mnożoną liczbę, np. 17·11 = 170+17 = 187, bo przecież a·11 = a·10+a.
Mnożenie przez 101
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 101, dopisujemy na końcu dwa zera i dodajemy mnożoną liczbę, np. 17·101 = 1700+17 = 1717, bo przecież a·101 = a·100+a.
Mnożenie przez 9
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 9, dopisujemy na końcu zero i odejmujemy mnożoną liczbę, np. 17·9 = 170−17 = 153, bo przecież a·9 = a·10−a.
Mnożenie przez 99
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 99, dopisujemy na końcu dwa zera i odejmujemy mnożoną liczbę, np. 17·99 = 1700−17 = 1683, bo przecież a·99 = a·100−a.
A teraz spróbuj sam:
1) 27·11
2) 27·101
3) 27·9
4) 27·99
Mnożenie przez 2 i 4
- mnożenie przez 2 jest łatwe, wystarczy w pamięci dodać liczbę do siebie samej,
- aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 4, mnożymy ją dwukrotnie przez 2, bo a·4 = a·2·2,
Mnożenie przez 3
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 3, podwajamy ją i jeszcze raz dodajemy , np. 115·3 = 230+115 = 345, bo przecież a·3 = a·2+a.
Mnożenie przez 5
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 5, dopisujemy na końcu zero i dzielimy przez dwa, np. 17·5 = 170:2 = 85, bo przecież a·5=a·10:2. Jeżeli mnożona liczba jest parzysta, można najpierw podzielić ją przez dwa, a później dopisać zero.
Mnożenie przez 50
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 50, dopisujemy na końcu dwa zera i dzielimy przez dwa, np. 17·50 = 1700:2 = 850, bo przecież a·50 = a·100:2. Jeżeli mnożona przez 50 liczba jest parzysta, można najpierw podzielić ją przez dwa, a później dopisać zera.
Mnożenie przez 20
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 20, mnożymy ją przez 2 i dopisujemy na końcu zero, np. 17·20 = 34·10 = 340, bo przecież a·20=a·2·10.
Mnożenie przez 200
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 200, mnożymy ją przez 2 i dopisujemy na końcu dwa zera, np. 17·200 = 34·100 = 3400, bo przecież a·200=a·2·100.
Mnożenie przez 21
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 21, mnożymy ją przez 2, dopisujemy zero i dodajemy do wyniku mnożoną liczbę, np. 17·21 = 340+17 = 357, bo przecież a·21 = a·20+a = a·2·10+a.
Mnożenie przez 19
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez 19, mnożymy ją przez 2, dopisujemy zero i od wyniku odejmujemy mnożoną liczbę, np. 17·19 = 340−17 = 323, bo przecież a·19 = a·20−a = a·2·10−a.
Mnożenie przez 15
Aby pomnożyć liczbę przez 15, dopisujemy do niej zero i do nowej liczby dodajemy jej połowę, np. 17·15 = 170 + 170:2 = 170+85 = 255, bo przecież a·15 = a·10+a·5 = a·10+a·10·1/2.
Dzielenie przez 5
Aby podzielić liczbę całkowitą przez 5, mnożymy ją przez 2 i przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo np. 136:5 = 272:10 = 27,2, bo przecież a:5 = 2a : 2·5 = 2a : 10.
Dzielenie przez 20
Aby podzielić liczbę całkowitą przez 20, dzielimy ją przez 2 i przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo np. 186:20 = 93:10 = 9,3, bo przecież a:20 = (a:2):10.
Dzielenie przez 200
Aby podzielić liczbę całkowitą przez 200, dzielimy ją przez 2 i przesuwamy przecinek o 2 miejsca w lewo, np. 460:200 = 230:100 = 2,3, bo przecież a:200 = (a:2):100.
A teraz spróbuj sam:
1) 567·2
2) 567·4
3) 567·3
4) 625·5
5) 465·50
6) 349·20
7) 425·200
8) 74·19
9) 83·21
10) 63·15
11) 234:5
12) 2486:20
13) 124685:200
