Sześcian w czworościanie foremnym

Zazwyczaj w zadaniach ze stereometrii rozpatruje się czworościany w sześcianie. Tu obejrzymy różne przykłady sześcianów zawartych w czworościanie foremnym. Przedstawiamy osiem zadań. Szkice rozwiązań i odpowiedzi zamieszczamy pod rysunkami, w których ukryte są również wskazówki. Manipulowanie rysunkami pozwoli dostrzec najważniejsze związki między figurami. Jedynie w jednym przykładzie jest potrzebna trygonometria.

Wszystko będzie się działo w czworościanie foremnym ABCD o krawędziach długości a.
Nie jest trudno wyznaczyć wysokość H tego czworościanu:

Spodek wysokości, punkt D', leży w środku podstawy, zatem dla trójkąta ADD', z tw. Pitagorasa mamy:
   DD' ² = AD ² - AD' ² = a ² - ( 2/3 ^. a/2 ) ²,
skąd
   wysokość H  = DD'  =  a ^. /3 .
 
Zauważmy ponadto, że kąt między ścianami jest taki, jak kąt DD''D' w trójkącie DD''D'. W tym właśnie trójkącie stosunek przyprostokątnych jest równy:
   DD' / D'D''   =   H / ( 1/3 ^. a/2 ),
czyli
    DD' / D'D''   =   2 .

Będziemy oglądać sześciany zawarte w tym czworościanie foremnym.
Jest wiele "gatunków" takich sześcianów.
W obrębie każdego z rozważanych tu gatunków obejrzymy dokładnie największy z sześcianów.
Najciekawsze są ostatnie dwa przykłady, jednak zaczniemy od prostszych.

Na początek rozważamy rodzinę sześcianów "leżących" zawartych w ABCD, to znaczy takich, w których jedna ze ścian jest zawarta w ścianie ABC czworościanu.

Gatunek (a).    Sześciany w czworościanie foremnym ABCD,
których przekątna jednej ze ścian jest zawarta w wysokości CD'' ściany ABC czworościanu
i środek tej przekątnej pokrywa się ze środkiem D' ściany ABC czworościanu.

Zadanie 1. Wyznacz x - długość krawędzi największego z takich sześcianów.

Najważniejsze, to wyobrazić sobie, jak leżą górne wierzchołki takiego sześcianu.
Które z nich dotykają powierzchni czworościanu?

Rozwiązanie:    

(szkic)   Płaszczyzna zawierająca górne wierzchołki sześcianu leży x nad ABC i wycina z czworościanu trójkąt równoboczny o boku b. Zatem b / a = (H - x) / H. Środek tego trójkąta pokrywa się ze środkiem górnej ściany sześcianu, a środek jednego z boków jest wierzchołkiem sześcianu, zatem x /   =   1/3 ^. b /2. Z tych dwóch zależności można łatwo wyznaczyć x (i b).

Odpowiedź:     x   =   a ^. /9.

Gdy zrezygnujemy z warunku 'środki podstaw czworościanu i sześcianu pokrywają się', dostaniemy szerszą klasę sześcianów, nazwijmy ją rodzajem (A).

Rodzaj (A) zawierający gatunek (a).   Sześciany w czworościanie foremnym ABCD,
których przekątna jednej ze ścian jest zawarta w wysokości CD'' ściany ABC czworościanu.

Zadanie 2. Wyznacz x - długość krawędzi największego z takich sześcianów.

Czy widzisz, które wierzchołki sześcianu dotykają powierzchni czworościanu?

Rozwiązanie:    

(szkic)   Płaszczyzna zawierająca górne wierzchołki sześcianu leży x nad ABC i wycina z czworościanu trójkąt równoboczny o boku b. Zatem b / a = (H - x) / H. Przekątna górnej ściany sześcianu odcina od tego trójkąta mniejszy, podobny trójkąt, zatem x / b   =   ( b /2 - x/ ) / ( b /2) . Z tych dwóch zależności można już (żmudnymi) rachunkami wyznaczyć x (i b).

Odpowiedź:     x   =   a ^. (5 - 6)/13 .

Przekręćmy poprzednie sześciany.

Gatunek (b).    Sześciany w czworościanie foremnym ABCD,
których jedna ze ścian leży na podstawie ABC czworościanu,
środek tej ściany pokrywa się ze środkiem D' ściany ABC czworościanu
i jeden z boków tej ściany jest równoległy do boku AB ściany ABC czworościanu.

Zadanie 3. Wyznacz x - długość krawędzi największego z takich sześcianów.

Nie jest wcale jasne, które dwa górne wierzchołki sześcianu dotykają powierzchni czworościanu.
Po przeanalizowaniu tego problemu reszta rozwiązania jest podobna do poprzednich.

Rozwiązanie:    

(szkic)   Płaszczyzna zawierająca górne wierzchołki sześcianu leży x nad ABC i wycina z czworościanu trójkąt równoboczny o boku b. Zatem b / a = (H - x) / H. Krawędź sześcianu odcina z tego trójkąta mniejszy, podobny trójkąt, zatem x / b   =   ( 2/3 b /2 - x/ 2 ) / ( b /2) . Z tych dwóch zależności można już (żmudnymi) rachunkami wyznaczyć x (i b).

Odpowiedź:     x   =   a ^. ( + 2 - 3)/6 .

Gdy zrezygnujemy z warunku 'środki podstawy czworościanu i sześcianu pokrywają się', dostaniemy szerszą klasę sześcianów, nazwijmy ją rodzajem (B).

Rodzaj (B) zawierający gatunek (b).   Sześciany w czworościanie foremnym ABCD,
których jedna ze ścian leży na podstawie ABC czworościanu,
i jeden z boków tej ściany jest równoległy do boku AB ściany ABC czworościanu.

Zadanie 4. Wyznacz x - długość krawędzi największego z takich sześcianów.

Czy widzisz, że wszystkie wierzchołki takiego sześcianu leżą na powierzchni czworościanu?

Rozwiązanie:    

(szkic)   Płaszczyzna zawierająca górne wierzchołki sześcianu leży x nad ABC i wycina z czworościanu trójkąt równoboczny o boku b. Zatem b / a = (H - x) / H. Krawędź sześcianu odcina z tego trójkąta mniejszy, podobny trójkąt, zatem x / b   =   ( b /2 - x ) / ( b /2). Z tych dwóch zależności można już (bardzo żmudnymi) rachunkami wyznaczyć x (i b).

Odpowiedź:     x   =   a ^. (28 - 72 + 15 + 66) / 167.

Przejdziemy teraz do sześcianów 'stojących na jednej nodze', to znaczy takich, których przekątna jest zawarta w wysokości D'D czworościanu.

Gatunek (c).    Sześciany w czworościanie foremnym ABCD,
o jednym wierzchołku w środku D' podstawy ABC czworościanu,
o przekątnej zawartej w wysokości D'D czworościanu,
których krawędzie wychodzące z D', leżą pod krawędziami DA, DB, DC czworościanu.

Zadanie 5. Wyznacz x - długość krawędzi największego z takich sześcianów.

Najważniejsze, to wyobrazić sobie, jak leżą wierzchołki takiego sześcianu.
Które z nich dotykają powierzchni czworościanu?

Rozwiązanie:    

(szkic)   Płaszczyzna równoległa do podstawy ABC czworościanu, odległa od niej o 2/3 przekątnej sześcianu, wycina z czworościanu trójkąt równoboczny o boku b. Zatem b / a = (H - 2/3 ^. x) / H. W środkach boków tego trójkąta leżą trzy wierzchołki sześcianu, zatem b/2   =   x . Z tych dwóch zależności można już (łatwymi) rachunkami wyznaczyć x (i b).

Odpowiedź:     x   =   a ^. /6 .

Przekręcając poprzednie sześciany o 60^o wokół przekątnej dostaniemy nowy gatunek.

Gatunek (d).    Sześciany w czworościanie foremnym ABCD,
o jednym wierzchołku w środku D' podstawy ABC czworościanu,
o przekątnej zawartej w wysokości D'D czworościanu,
których przekątne ścian wychodzących z D', leżą pod krawędziami DA, DB, DC czworościanu.

Zadanie 6. Wyznacz x - długość krawędzi największego z takich sześcianów.

Rozwiązanie:    

(szkic)   Płaszczyzna równoległa do podstawy ABC czworościanu, odległa od niej o 1/3 przekątnej sześcianu, wycina z czworościanu trójkąt równoboczny o boku b. Zatem b / a = (H - 1/3 ^. x) / H. W środkach boków tego trójkąta leżą trzy wierzchołki sześcianu, zatem b/2   =   x. Z tych dwóch zależności można już (łatwymi) rachunkami wyznaczyć x (i b).

Odpowiedź:     x   =   a ^. /5 .

'Na deser' zobaczmy, że wśród sześcianów 'stojących na jednej nodze' jest taki, którego sześć wierzchołków, poza końcami nogi -przekątnej, leży na powierzchni bocznej czworościanu.

Zadanie 7*. Wyznacz x - długość krawędzi tego sześcianu.

Rozwiązanie:    

Przedstawiamy tylko plan rozwiązania (przy oznaczeniach z rysunku ze wskazówkami).
Najpierw wyznaczymy długości różowych odcinków w zależności od x.
  -   PP'  =  1/3 ^. x,   QQ'  =  2/3 ^. x   (bo przekątna sześcianu jest prostopadła do ABC),
  -   P'D'  =  x ^. / 3,   (z trójkąta PP'D'),
  -   Q'D'  =  P'Q'  =  P'D'  =  x ^. / 3,   (popatrz z góry),
  -   P'P''  =  PP' / (2)  =  x ^. / 12,   (z nachylenia ściany ABD do ABC),
  -   Q'Q''  =  2P'P''  =  x ^. / 6,
  -   P''Q''  =  P'R  =  x ^. / 12,   (z trójkąta P'Q'R),
  -   D'D''  =  P'P'' + P'D' ^. sin(60^o + RP'Q' )   =                 (z trygonometrii)
                =   P'P'' + P'D' ^. ( sin 60^{o .} cos RP'Q'   +  cos 60^{o .} sin RP'Q' )  = 
                =   P'P'' + P'D' ^. ( /2 ^. P'R / P'Q'   +  1/2 ^. RQ' / P'Q' )  = 
                =   ...  =  x ^. (1+)/8 .
Ostatnia wielkość to 1/3 wysokości trójkąta ABC, a z tego wyznaczamy ostatecznie x.

Odpowiedź:     x   =   a ^. ( - 1 ) / 6.

Na koniec zobaczmy, że istnieje taki sześcian, że na każdej ścianie czworościanu leży jedna krawędź sześcianu równoległa do pewnej krawędzi czworościanu.

Zadanie 8*. Wyznacz x - długość krawędzi tego sześcianu.

Odpowiedź:     x   =   a ^. (1 - /2) .

Oczywiście są jeszcze inne ciekawe gatunki sześcianów w czworościanie foremnym. Spróbuj samodzielnie określić jakiś nowy gatunek i zbadać największy sześcian z tego gatunku.