Czy wstęgę Möbiusa można zrobić z paska papieru? (1)

Samolot leci po okręgu o środku O i promieniu R, w płaszczyźnie Oxy, wokół osi Oz.
Śmigło AB, o średnicy 2r, leniwie kręci się, wymiatając w przestrzeni pewną powierzchnię.

Gdy w czasie jednego pełnego okrążenia samolotu śmigło wykonuje jeden lub kilka pełnych obrotów, wymiatana powierzchnia ma brzeg złożony z dwóch linii - niebieskiej i czerwonej.

Gdy w czasie jednego pełnego okrążenia samolotu śmigło wykonuje pół pełnego obrotu (obrotomierz = 0.5), wymiata w przestrzeni wstęgę Möbiusa. Przyjrzymy się jej dokładniej.

Zbadamy długość brzegu tak otrzymanej wstęgi Möbiusa, czyli linii, po której poruszają się końce śmigła.
Udowodnimy twierdzenie:

TWIERDZENIE 1

Poniżej widać fragment wstęgi; samolot wykonał obrót o Δδ stopni, przeleciał z E do F. Końce śmigła  przemieściły się z A do B i z C do D. Odcinki AB i CD stanowią przybliżenie brzegu wstęgi, a EF jest przybliżeniem okręgu (tym lepsze, im mniejsze jest Δδ).
Popatrz na te odcinki z różnych punktów.
W szczególności popatrz 'z góry', gdy cała oś Oz pokryje się z punktem O.

Wtedy (patrząc z góry) wydaje się, że:
a)   trójkąt OEF jest równoramienny — faktycznie tak jest (dlaczego?),
b)   odcinki AE i EC są równej długości — faktycznie tak jest (dlaczego?),
c)   odcinki AC i BD są różnej długości — to złudzenie, one są równe (dlaczego?),
d)   odcinki AB i CD są różnej długości — zazwyczaj tak faktycznie jest.

Zauważ ponadto, że przy widoku 'z góry' odcinki AB i CD wyglądają na krótsze niż w rzeczywistości, w przeciwieństwie do odcinka EF i kąta EOF = Δδ (dlaczego?).

UWAGA 1.     
Łatwo można pokazać, że    AB + CD  >  2 · EF. 
Jednak taka nierówność to za mało do dowodu twierdzenia. Z faktu, że łamana przybliżająca brzeg wstęgi jest ponad dwukrotnie dłuższa od łamanej przybliżającej okrąg, nie wynika ostra nierówność pomiędzy długościami przybliżanych linii.
(Pomyśl o nierówności pomiędzy obwodami wielokątów opisanych i wpisanych w ten sam okrąg.)

Przyglądajmy się dalej. Dorysujmy dwa odcinki:
   B'D'  –  zatrzymujemy samolot, a śmigło kręci się tak samo, jak na drodze z E do F,
   A'C'  –  zatrzymujemy śmigło, a samolot przemieszcza się z E do F.

Wtedy   CED'  = Δδ / 2   i    DFC'  =  Δδ / 2  
(popatrz 'z góry' i 'z boku' tak, by punkty E i F pokryły się).

Odcinki AB i CD są przekątnymi trapezów równoramiennych AA'BB' i CC'DD' (dlaczego trapezów? dlaczego równoramiennych?).

Gdy dalej będziemy obracać śmigła w punktach E i F o wielokrotności kąta Δδ / 2, wyznaczymy wierzchołki pewnego wielościanu (przesuń suwak [show]).
Zakładamy, że 360 / Δδ jest liczbą całkowitą.
Ile ścian ma ten wielościan, gdy Δδ = 30^o ? A ile, gdy Δδ = 5^o?
Odcinki AB i CD są przekątnymi w pewnym sensie przeciwległych ścian 'bocznych' tego wielościanu (w jakim sensie?).

Gdy n = 360 / Δδ jest liczbą całkowitą, cały brzeg wstęgi możemy przybliżyć łamaną, która leży na ścianach bocznych wielościanów zbudowanych jak poprzednio. Każdy z tych n przystających wielościanów ma na swej powierzchni 'bocznej' dwa odcinki łamanej przybliżającej brzeg wstęgi.

Zauważ (przyjmij małe n), że łamana ta ma długość równą połowie sumy długości przekątnych wszystkich ścian 'bocznych' jednego z tych wielościanów.

(Zauważ, że gdy n jest coraz większe, te n wielościanów coraz lepiej wypełnia torus.)

Te n wielościanów można ustawić 'w jednej linii' tak, by łączyły się podstawami, a ściany boczne tworzyły 'długie' czworokąty (można myśleć, że co drugi z nich przekręcamy o 180^o).

Gdy n jest parzyste, przestawione wielościany utworzą jeden graniastosłup (pochyły).

Gdy n jest coraz większe (i parzyste), ten graniastosłup jest coraz mniej pochyły.
Coraz bardziej przypomina... walec.
Jest to walec o wysokości 2πR i promieniu podstawy równym r(dlaczego?).

UWAGA 2.     
Przy okazji warto zauważyć, że objętość i powierzchnia torusa są równe objętości i powierzchni bocznej tego walca, czyli

Zauważ (przyjmij małe n równe 4 lub 6), że odcinki łamanej przybliżającej brzeg wstęgi można ułożyć na powierzchni tego graniastosłupa pochyłego tak, jak pokazano na rysunku.

Na graniastosłupie otrzymamy dwie linie (łamane) łączące punkty przeciwległych podstaw.

Te linie na graniastosłupie są przybliżeniami (gdy n jest duże i parzyste) dwóch linii na powierzchni walca (o którym była wcześniej mowa).
Te linie na walcu zobaczysz lepiej, gdy pomyślisz, że powierzchnia boczna walca powstała z dwóch jednakowych prostokątów:   πr × 2πR.
Te linie odpowiadają dwóm przekątnym tych prostokątów, a przekątne są najkrótszymi liniami łączącymi przeciwległe wierzchołki prostokąta.

Zatem ostatecznie mamy:
          brzeg wstęgi jest nie krótszy od sumy długości tych dwóch przekątnych,
          brzeg wstęgi jest nie krótszy od
       

UWAGA 3. (tylko dla dorosłych) 
Może się wydawać, że długość brzegu jest równa sumie długości tych dwóch przekątnych:
       
Tak nie jest (patrz uwaga 1).
Nieprecyzyjnie mówiąc, łamane na pochyłym graniastosłupie są za mocno powyginane.

UWAGA 4. (tylko dla dorosłych)  
Dociekliwi zapytają, dlaczego mamy tezę o długości brzegu wstęgi, przecież otrzymana nierówność dotyczyła łamanej przybliżającej brzeg wstęgi, a (zgodnie z uwagą 1) długość tej łamanej nie musi być bliska długości brzegu wstęgi.
Jednak tu nie ma błędu. Owa łamana (czy raczej łamane) są 'dobrze wybrane'. Tak 'dobrze', jak dobrze przybliżają okrąg i jego długość brzegi wielokątów foremnych wpisanych w okrąg.

Przejdźmy wreszcie do tytułowego pytania:

Powyższa nierówność pokazuje, że NIE TAK PROSTO, jak się w pierwszej chwili wydaje.
Nie można prostokątnego paska papieru skręcić, skleić i ułożyć na powierzchni wyznaczonej przez śmigło, bowiem dwa równoległe boki prostokąta mają łączną długość równą dwukrotności odcinka przechodzącego na 'równik' wstęgi.

Nie oznacza to jednak, że odpowiedź na tytułowe pytanie brzmi: NIE.

Odpowiedź NIE mamy tylko dla TEJ wstęgi i dla PROSTOKĄTNEGO paska papieru, sklejonego wzdłuż dwóch przeciwległych boków.

Czy z innego paska papieru można zrobić wstęgę Möbiusa?

Spróbuj.

Na poniższym rysunku widać siodło, jakie tworzy fragment powierzchni w pobliżu punktu S.
Takie siodło (nieprecyzyjnie mówiąc) jest powodem tego, że nawet mały fragment, otoczenie punktu S tej wstęgi, nie może być wykonany z papieru. (Weź kartkę i sprawdź, że nie można z niej zrobić siodła.)