Drążąc temat (1)

Rozwiązywanie zadań przypomina drążenie tunelu w litej skale. Bynajmniej nie dlatego, że idzie 'jak po grudzie', ale dlatego, że podobna jest radość z zobaczenia 'światełka w tunelu'!

Zaczniemy od wiercenia tuneli w sześcianie o krawędzi a. Niech oś wiertła zawsze będzie równoległa do podstawy sześcianu i przechodzi przez jego oś symetrii na wysokości w.

Nasze 'wiertło' może mieć przekrój będący wielokątem foremnym (o boku b) - wtedy nie obraca się, lecz przeciska przez sześcian jak przez ciasto, wyciskając w nim tunel.

Problem
Jaka jest powierzchnia ścian tunelu? Jaka jest objętość tunelu?

Łatwy jest przypadek, gdy oś wiertła jest prostopadła do ściany sześcianu.

Nietrudno dać odpowiedź. Można ją sformułować tak, żeby nie zależała od kształtu przekroju wiertła.

objętość_tunelu  =  powierzchnia_przekroju_wiertła  ×  długość_tunelu

powierzchnia_tunelu  =  obwód_przekroju_wiertła  ×  długość_tunelu

Teraz będziemy wiercić tunel inaczej: oś wiertła nadal będzie równoległa do podstawy sześcianu i będzie przechodziła przez jego oś symetrii, ale nie będzie prostopadła do ściany sześcianu. Niech oś wiertła tworzy ze ścianą kąt różniący się o od kąta prostego (kąt padania jest równy ).

Jak wygląda teraz tunel? Jaka jest powierzchnia jego ścian? Jaka jest jego objętość?

Teraz również można sformułować odpowiedź tak, żeby nie zależała od kształtu przekroju wiertła.

objętość_tunelu  =  powierzchnia_przekroju_wiertła  ×  długość_tunelu

powierzchnia_tunelu  =  obwód_przekroju_wiertła  ×  długość_tunelu

Co więcej, można podać rozumowanie niezależne od kształtu przekroju. Wystarczy przekroić tunel płaszczyzną prostopadłą do ścian tego tunelu przechodzącą (na przykład) przez oś sześcianu.
Czy już widzisz rozwiązanie? Jeśli nie, przesuń do końca suwak [rozwiązanie].

Prawdziwym wyzwaniem jest zobaczenie tunelu poprowadzonego nad przekątną podstawy sześcianu. Na rysunku widać przypadek, gdy wiertło ma przekrój kwadratowy.

Zadanie 4
Tunel prowadzimy nad przekątną podstawy sześcianu (tzn. oś wiertła jest równoległa do tej przekątnej). Tunel wyciskamy wiertłem o przekroju kwadratowym o boku b, takim że jeden z boków jest równoległy do podstawy sześcianu.
Jaka jest powierzchnia ścian tunelu? Jaka jest objętość tunelu?

W poniższych zadaniach główna trudność leży w zobaczeniu kształtu tunelu. Obliczenia nie są trudne, czasem może tylko trochę żmudne.

Zadanie 3
Tunel prowadzimy nad przekątną podstawy sześcianu (tzn. oś wiertła jest równoległa do tej przekątnej). Tunel wyciskamy wiertłem o przekroju trójkąta równobocznego, o boku b, o jednym z boków równoległym do podstawy sześcianu.
Jaka jest powierzchnia ścian tunelu? Jaka jest objętość tunelu?

Zadanie 6
Tunel prowadzimy nad przekątną podstawy sześcianu (tzn. oś wiertła jest równoległa do tej przekątnej). Tunel wyciskamy wiertłem o przekroju sześciokąta foremnego, o boku b, o jednym z boków równoległym do podstawy sześcianu.
Jaka jest powierzchnia ścian tunelu? Jaka jest objętość tunelu?

Zadanie K
Tunel prowadzimy nad przekątną podstawy sześcianu (tzn. oś wiertła jest równoległa do tej przekątnej). Tunel wiercimy wiertłem o przekroju w kształcie koła o promieniu r.
Jaka jest powierzchnia ścian tunelu? Jaka jest objętość tunelu?

Możesz także przeczytać artykuł o tym, jak drążyć tunele w piramidzie - Drążąc temat (2).