Rozwiązywanie zadań często przypomina drążenie tunelu w litej skale. Bynajmniej nie dlatego, że idzie 'jak po grudzie', ale dlatego, że podobna jest radość z zobaczenia 'światełka w tunelu'!
Przed przeczytaniem poniższego tekstu warto przeczytać artykuł o tym, jak drążyć tunele w sześcianie - Drążąc temat (1).
Tym razem wiercimy tunele w piramidzie, czyli w ostrosłupie prawidłowym o wysokości H, o podstawie kwadratu o boku a. Niech oś wiertła zawsze będzie równoległa do podstawy piramidy i przechodzi przez jej oś symetrii na wysokości w.
Nasze 'wiertło' może mieć przekrój będący wielokątem foremnym (o boku b) - wtedy nie obraca się, lecz przeciska przez piramidę jak przez ciasto, wyciskając w nim tunel.
Problem
Jaka jest powierzchnia ścian tunelu? Jaka jest objętość tunelu?
Niezbyt trudny jest przypadek, gdy oś wiertła jest prostopadła do krawędzi podstawy piramidy (dokładniej: gdy rzut prostopadły osi wiertła na podstawę piramidy tworzy z bokiem podstawy kąt prosty).
Odpowiedź można sformułować tak, żeby nie zależała od kształtu przekroju wiertła.
objętość_tunelu = powierzchnia_przekroju_wiertła × średnia_długość_tunelu
powierzchnia_tunelu = obwód_przekroju_wiertła × średnia_długość_tunelu
Uwaga. Niepokojący jest termin 'średnia długość', szczególnie w przypadku wiertła okrągłego. Omówimy to w trakcie uzasadnienia podanego rozwiązania.
Poniżej widać uzasadnienie powyższych wzorów w przypadku wierteł o przekroju będącym wielokątem foremnym o parzystej liczbie boków.
Przetnijmy tunel płaszczyzną prostopadłą do osi tunelu, przechodzącą (na przykład) przez oś piramidy. Ta płaszczyzna rozcina tunel na dwie części, wzdłuż przekroju wiertła.
Jedną z tych części można obrócić o 180o względem osi wiertła i tak przesunąć, by pasowała do pozostałej części. Wtedy powyższe wzory widać na obrazku (przesuń do oporu suwak "więcej" i manipuluj pojawiającymi się suwakami). Średnia długość tunelu jest średnią arytmetyczną długości tunelu mierzonych wzdłuż 'rzeźbiących' go wierzchołków.
Co więcej: ta średnia długość tunelu jest równa długości tunelu mierzonej wzdłuż osi wiertła.
Przy takim rozumieniu 'średniej długości', powyższe wzory są prawdziwe również w przypadku wiertła okrągłego.
W przypadku wierteł o przekrojach będących wielokątami o nieparzystej liczbie boków, powyższe rozumowanie zawodzi. Sprawdź. Ten przypadek omówimy później.
Teraz będziemy wiercić trochę inaczej. Niech nadal oś wiertła będzie równoległa do podstawy piramidy i przecina jej oś na wysokości w, ale niech nie będzie prostopadła krawędzi podstawy piramidy. Oś wiertła (a dokładniej rzut prostopadły osi wiertła na podstawę piramidy) niech tworzy z krawędzią podstawy kąt różniący się o 
od kąta prostego
- kąt padania jest wtedy równy ).
Jak wygląda teraz tunel? Jaka jest powierzchnia jego ścian? Jaka jest objętość tunelu?
Poprzednio sformułowane odpowiedzi są poprawne i w tym przypadku.
objętość_tunelu = powierzchnia_przekroju_wiertła × średnia_długość_tunelu
powierzchnia_tunelu = obwód_przekroju_wiertła × średnia_długość_tunelu
Uwaga. Zobacz, że nawet w przypadku kwadratowych wierteł wlot tunelu nie jest prostokątem lecz równoległobokiem. Sprawdź też, że poprzednie rozumowanie zawodzi.
Poniżej widać uzasadnienie powyższych wzorów w przypadku wierteł o przekroju będącym wielokątem foremnym o parzystej liczbie boków.
Przetnijmy tunel płaszczyzną prostopadłą do osi tunelu, przechodzącą (na przykład) przez oś piramidy. Ta płaszczyzna rozcina tunel na dwie części, wzdłuż przekroju wiertła.
Jedną z tych części można odbić w lustrze, tj. względem płaszczyzny równoległej do podstawy piramidy, zawierającej oś wiertła. Potem wystarczy przesunąć tę część tak, by pasowała do pozostałej części. Wtedy powyższe wzory widać na obrazku (przesuń do oporu suwak "więcej" i manipuluj pojawiającymi się suwakami). Średnia długość tunelu jest średnią arytmetyczną długości tunelu mierzonych wzdłuż 'rzeźbiących' go wierzchołków.
Co więcej, ta średnia długość tunelu jest równa długości tunelu mierzonej wzdłuż osi wiertła.
Przy takim rozumieniu średniej długości, powyższe wzory są prawdziwe również w przypadku wiertła okrągłego.
W przypadku wierteł o przekrojach będących wielokątami o nieparzystej liczbie boków, powyższe rozumowanie zawodzi - sprawdź. Teraz zajmiemy się tym właśnie przypadkiem.
Zauważmy, że ściany tunelu są trapezami o wysokości b, będącej bokiem przekroju wiertła. Oznaczmy przez t1, t2,... tn długości podstaw tych trapezów (patrz rysunek).
Łączne pole ścian tunelu jest równe:
(t1+t2)/2 . b +
(t2+t3)/2 . b +... +
(tn+t1)/2 . b =
= (t1 + t2 + ... + tn)/n . (n . b) ,
czyli
Wzór na objętość też jest prawdziwy - patrz artykuł Objętości graniastosłupów ściętych.
Zadanie *
Tunel w piramidzie prowadzimy nad odcinkiem łączącym środki sąsiednich boków podstawy, tzn. oś wiertła jest równoległa do tego odcinka, leży nad nim w odległości w. Przekrój wiertła jest trójkątem równobocznym o boku b.
Jaka jest powierzchnia ścian tunelu? Jaka jest objętość tunelu?
Warto też zobaczyć, jak można drążyć tunele w piramidzie jednocześnie z dwóch stron. Przeczytasz o tym w artykule Drążąc temat (3).
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
