Drążąc temat (3)

Rozwiązywanie zadań często przypomina drążenie tunelu w litej skale. Bynajmniej nie dlatego, że idzie 'jak po grudzie', ale dlatego, że podobna jest radość z zobaczenia 'światełka w tunelu'! Wcześniej warto zobaczyć, jak drążyć tunele w sześcianie - Drążąc temat (1) oraz w piramidzie - Drążąc temat (2). Tym razem nadal będziemy drążyć tunele w piramidzie, ale z dwóch stron jednocześnie.

Rozważmy piramidę, czyli ostrosłup prawidłowy o podstawie kwadratowej, o boku a i o takiej wysokości H, że jego ściany boczne są trójkątami równobocznymi.

Rozgrzewka. Bez żadnych rachunków odpowiedz na poniższe pytania (podając uzasadnienia).

ZADANIE 1
Pod jakim kątem przecinają się przeciwległe krawędzie boczne:
   a)  pod kątem < 90^o?    b)  pod kątem = 90^o?    c)  pod kątem > 90^o?

ZADANIE 2
Pod jakim kątem ściany boczne przecinają podstawę:
   a)  pod kątem < 60^o?    b)  pod kątem = 60^o?    c)  pod kątem > 60^o?

ZADANIE 3
Pod jakim kątem przecinają się sąsiednie ściany boczne:
   a)  pod kątem < 90^o?    b)  pod kątem = 90^o?    c)  pod kątem > 90^o?

Na ścianach bocznych piramidy zaznaczono trójkąty jednokładne do nich w skali 1/2 względem środków tych ścian (czyli względem punktów przecięcia się środkowych).

ZADANIE 4
Czy suma pól tych czterech mniejszych trójkątów jest
   a)  mniejsza od     b)  równa      c)  większa od 
pola/polu podstawy piramidy?

Pary mniejszych trójkątów położone na przeciwległych ścianach piramidy są wylotami dwóch tuneli wywierconych na wprost przez piramidę równolegle do jej podstawy. Te tunele krzyżują się w środku piramidy. Taki podwójny tunel nazwijmy d-tunelem.

Zastanówmy się, jak wygląda ten d-tunel.

ZADANIE 5
   a)  Jaki kształt ma podłoga d-tunelu? Jeśli jest wielokątem, to ile ma boków?
   b)  Ile ścian (poza podłogą) ma d-tunel?
   c)  Ile ścian czworokątnych ma d-tunel?
   d)  Ile ścian trójkątnych ma d-tunel?

Odpowiedzi zobaczysz na poniższym rysunku.

ZADANIE 6
   a)  Jakie jest pole podłogi d-tunelu?
   b)  Jakie jest łączne pole ścian (poza podłogą) d-tunelu?

Na poniższym rysunku można 'wyjąć' d-tunel z piramidy - przesuń do oporu suwak [więcej].
Można też zobaczyć pokolorowane ściany d-tunelu - przesuń pojawiający się suwak [kolory].

PROBLEM 7
   a)  Czy ściany d-tunelu są równoległe do ścian piramidy odpowiadających im kolorami?
   b)  Czy ściany d-tunelu (poza podłogą) są równoległobokami?

Na poniższym rysunku można zmieniać wysokość piramidy.

PROBLEM 8*
Które z poprzednich odpowiedzi nie zmienią się, tzn. są niezależne od wielkości H?

Na poniższym rysunku można zmieniać skalę jednokładności s, w której 'małe' trójkąty powstały ze ścian piramidy.

PROBLEM 9*
Które z poprzednich odpowiedzi nie zmienią się, tzn. są niezależne od wielkości s i H?