Nieziemskie przyciąganie

Dla figury (domkniętej) wypukłej c, punktu Z i liczby s >0 określamy:
    Z_c = punkt z c leżący najbliżej Z,
    Z' = punkt z półprostej Z_cZ taki, że Z_cZ' = s ^. Z_cZ .
Ponadto dla figury u symbol u' = P_c^s ( u ) oznacza nową figurę utworzoną z punktów Z', dla Z z u.

Będziemy mówić, że figura u jest (nieziemsko) przyciągana przez centrum c w skali s, albo że u' jest obrazem figury u w przekształceniu P_c^s.

Poniżej widać efekt działania przekształcenia P_c^s dla różnych wielokątów (można zmieniać położenia wierzchołków i całych figur).

Kluczem do zrozumienia tego przekształcenia jest zbadanie, co jest w nim obrazem odcinka oraz w których miejscach obraz odcinka 'załamuje się'.

Na poniższym rysunku, przy skali s=1/2 widać ilustrację ogólnej tezy: 

Obserwacja 1.  Gdy wszystkie punkty odcinka v są przyciągane przez ten sam wierzchołek z centrum c (tzn. gdy dla wszystkich punktów z v wierzchołek z centrum c leży do nich najbliżej), to
    a)   obraz v' odcinka v jest odcinkiem,
    b)   długość v'  =  s ^. długość v ,
    c)   v' jest równoległy do v .  

Widać też tezę nieco ogólniejszą: 

Obserwacja 1'. Gdy wszystkie punkty odcinka v są przyciągane przez ten sam punkt z centrum c, to
    a)   obraz v' odcinka v jest odcinkiem,
    b)   długość v'  =  s ^. długość v ,
    c)   v' jest równoległy do v. 

Dla innych odcinków, takich jak u na powyższym rysunku, mamy:

Obserwacja 2.  Gdy końce A i B odcinka u są przyciągane przez różne punkty z tego samego boku centrum c, to obraz u' odcinka u jest odcinkiem o końcach A' i B'.

Uwaga 1. Dowód powyższych obserwacji może być oparty na podobieństwie trójkątów lub na twierdzeniu Talesa.

Dla dowolnego odcinka jego obraz jest łamaną. Wyznaczenie tej łamanej nie jest trudne, choć bywa żmudne. Pomocne jest zaznaczenie prostych prostopadłych do boków centrum c wystawionych w jego wierzchołkach.

Uwaga 2. Wydaje się, że ogólnie zachodzi warunek:

Zobaczmy, jak zmienia się pole figury w tym przekształceniu. Zależy to od położenia figury.
Przeanalizujmy prosty przykład.

pole u'  =  pole D'B'C'  +  pole D'B'A'  =  1/2 ^. D'B' ^. E'C'  +  1/2 ^. D'B' ^. D'A'  = 
 =  1/2 ^. (1/2 ^. DB) ^. EC  +  1/2 ^. (1/2 ^. DB) ^. (1/2 ^. DA)  = 
 =  1/2 ^. (1/2 ^. DB ^. EC )  +  1/2 ^. 1/2 ^. (1/2 ^. DB ^. DA)  = 
 =  1/2 ^. pole DBC  +  1/2 ^. 1/2 ^. pole DBA  = 
 =  s ^. pole DBC   +   s^{2 .} pole DBA .

Widać, że inaczej zmienia się część 'niebieska', a inaczej - część 'żółta' figury.
Dla wielokątów widać algorytm postępowania.

pole v'  =  s ^. pole części niebieskiej   +   s^{2 .} pole części żółtej  = 
 =  ¹/₄ ^. 9 ⁸⁹/₁₄₀   +   (¹/₄)^{2 .} 9 ⁵¹/₁₄₀  =  2 ²²²⁷/₂₂₄₀ .   

Dla figury, której pole możemy przybliżać polami wielokątów, możemy postępować podobnie:

pole w'  =  s ^. pole części niebieskiej   +   s^{2 .} pole części żółtej  = 
 =  s ^. ( ²⁸/₃ - 8 - 8)   +   s^{2 .} ( ²⁰/₃ + 8 + 8).

Odnotujmy, że w powyższym przykładzie obrazem okręgu ograniczającego w jest linia złożona z dwóch fragmentów elips i dwóch łuków okręgu.
 

Uwaga 3.  Może wydawać się, że ów kolorowy wzór na pole przekształconej figury jest całkiem ogólny. Tak jednak nie jest.
Podzielenie figury na części 'niebieską' i 'żółtą' nie wystarcza.
Obok pokazano, że trzeba też uwzględnić trzecią część - zawartą w centrum c.
Na tym rysunku widać również, że obrazem odcinka KL jest łamana o jednym z wierzchołków leżącym poza prostymi prostopadłymi w wierzchołkach do boków c.

Na rysunku obok figurę u najpierw przekształcono przez P_c^1/2. Efekt u' tego przekształcenia poddano kolejnemu przekształceniu P_c^1/3, otrzymując w wyniku u''. Łatwo można sprawdzić, że u'' jest obrazem u w jednym przekształceniu P_c^1/6.
Symbolicznie: P_c^1/3 ( P_c^1/2 (u) )  =  P_c^1/6 (u) .

Tak jest ogólnie.

Obserwacja 4. Dla centrum c, figury u i liczb s oraz t > 0 mamy:

P_c^t ( P_c^s (u) )  =  P_c^{t . s} (u).

Niemal natychmiastowo wyciągamy następujące wnioski:

  a)   P_c¹ ( Z ) = Z, czyli przekształcenie P_c¹ nic nie zmienia (jest identycznością).

  b')   Jeśli Z' = P_c^1/2 (Z), to P_c² (Z') = Z , czyli przekształcenie P_c² jest odwrotne do P_c^1/2.

  b)   Jeśli Z' = P_c^s (Z), to P_c^1/s (Z') = Z , czyli przekształcenie P_c^1/s jest odwrotne do P_c^s.

  c)   P_c^t (P_c^s (Z))  =  P_c^s (P_c^t (Z)), czyli składanie przekształceń: P_c^s i P_c^t jest przemienne.

Uwaga 5.  Może się wydawać, że te przekształcenia nie zmniejszą liczby boków wielokątów.
Tak nie jest. Oto prosty argument:
      jeśli u' = P_c^s (u) ma więcej boków niż u, to P_c^1/s (u') = u ma mniej boków niż u'.

Obok pokazano, co się dzieje, gdy centrum c nie jest wypukłe. Obrazy figur mogą być wtedy 'rozerwane'. Powodem jest brak jednoznaczności najbliższego punktu, mianowicie są punkty z v, dla których istnieje więcej niż jeden najbliższy punkt z c.

'Lekarstwem' (dość często stosowanym w matematyce) jest wówczas wyrzucenie tych 'złych' punktów (tzn. tych, dla których istnieje więcej niż jeden najbliższy punkt z c) z dziedziny przekształcenia P_c^s.

Zatem dla c z rysunku obok, punkty z linii przerywanych nie są przekształcane. Dziedziną P_c^s jest płaszczyzna bez punktów dwóch półprostych.

Przy takiej umowie co do dziedziny, można rozważać również przekształcenia P_c^s dla zbiorów c, które nie są figurami wypukłymi. Poniżej c jest brzegiem czworokąta. Proszę sprawdzić, jaka jest dziedzina tego przekształcenia i które z wcześniejszych obserwacji pozostają prawdziwe. Ciekawy jest też zbiór wartości tego przekształcenia (figura złożona z tych i tylko tych punktów płaszczyzny, które są obrazami punktów w tym przekształceniu).

Ciekawy jest przykład przekształcenia P_c^s dla c będącego okręgiem. Proszę sprawdzić, jaka jest dziedzina tego przekształcenia i które z wcześniejszych obserwacji pozostają prawdziwe.

Uwaga 6. Dla dla c będącego okręgiem, obrazami odcinków są (na ogół) fragmenty linii zwanych konchoidami prostej (przedłużenie odcinka AB), a obrazami okręgów są linie zwane konchoidami okręgów.

W określeniu przekształcenia Z' = P_c^s (Z) podano, że
                Z' = punkt z półprostej Z_cZ taki, że Z_cZ' = s ^. Z_cZ .
Jak interpretować taki zapis dla s < 0?

Gdyby traktować półprostą Z_cZ jako półoś liczbową, to zapis Z_cZ' = s ^. Z_cZ można odczytać, jako określenie punktu Z' leżącego na uzupełnieniu tej półprostej, w odległości |s| ^. Z_cZ od Z_c.
(Najwygodniej można zapisać to wektorami, czego tu czynić nie będziemy.)

Skala s = -1 oznacza jakby odbicie względem c.
Gdy c jest punktem, to P_c^-1 jest odbiciem względem punktu (tzn. symetrią środkową, czyli obrotem o 180^o).
Gdy c jest prostą, to P_c^-1 jest odbiciem względem prostej (czyli symetrią osiową).

Dla c będącego okręgiem lub brzegiem czworokąta, ostatnie dwa dynamiczne rysunki pokazują efekt takiego przekształcenia również przy s < 0.

Tylko część poprzednich obserwacji zachodzi przy s < 0. Warto zastanowić się dlaczego.

O przekształceniu P_c^-1 pisaliśmy już wcześniej w innych artykułach. Wtedy nosiło ono inne (wymyślne) nazwy:
    Omyłkowe przekształcenie - emsymetria - gdy c było łamaną,
    Omyłkowe przekształcenie - orsymetria - gdy c było okręgiem,
    Omyłkowe przekształcenie - parsymetria - gdy c było parabolą.

Co dzieje się w przypadku s = 0?