Gdzie pieprz rośnie?

Pies P biega w koło po łące, patroluje pewien obszar. Właściwie to nie biega, lecz skacze. Jego trasa, zależna od p, q, r, zaczyna się w P₀. Po T  skokach pies wraca do P₀ i dalej już skacze po własnych śladach - jego ruch jest okresowy. Na poniższym dynamicznym rysunku zobaczysz pierwsze n skoków psa. Dla p = q = 0 jest to ruch po okręgu o promieniu r, a raczej po wielokącie foremnym wpisanym w ten okrąg (liczbę boków zmienisz parametrem T).

 

 

Królik K, gdy tylko zobaczy psa, nie może się powstrzymać i ucieka. Ucieka gdzie pieprz rośnie.
W artykule pokażemy trajektorię ruchu królika. Zobaczymy, że jest (poza jednym wyjątkiem) nieograniczona i ma dość nieprzewidywalny przebieg.

Królik startuje z K₀, skacze z prędkością s razy mniejszą (s>0), stara się być jak najdalej od psa.
Dokładniej: w każdym skoku (np. z punktu K_j) kieruje się w kierunku przeciwnym niż ten, w którym widzi psa (będącego aktualnie w P_j). Długość skoku królika jest s-tą częścią długości aktualnego skoku psa:

K_jK_j+1  =  s ^. P_jP_j+1 , chyba że akurat jest w tym samym miejscu co pies, wtedy się nie rusza (K_j+1 = K_j, o ile K_j = P_j). Pies na ogół nie łapie królika, a nawet gdy go złapie (to bardzo wyjątkowa sytuacja), i tak nic mu nie zrobi, ta bajka dobrze się kończy, a właściwie się nie kończy, bo biegną dalej, i dalej...
Na rysunku pokazano tylko początkowy etap gonitwy (n 9).

 

 

Na początek proponujemy kilka ćwiczeń dotyczących powyższego rysunku.

Ćwiczenie 1.  
Znajdź takie położenie K₀, przy którym K₁ = P₁. Czy jest tylko jedno takie położenie?

Ćwiczenie 1'.  
Znajdź takie położenie K₀, przy którym K₁ = P₀. Czy jest tylko jedno takie położenie?

Ćwiczenie 1'.  
Przy s = 0,5 nie ma takiego położenia K₀, przy którym K₁ byłoby środkiem odcinka P₀P₁. Dlaczego?

Ćwiczenie 1'''.  
W jakich miejscach nie może znaleźć się K₁ ?

Ćwiczenie 2.  
Znajdź takie położenie K₀, przy którym K₂ = P₁. Czy jest tylko jedno takie położenie?

Ćwiczenie 2'.  
Znajdź takie położenie K₀, przy którym K₂ = P₂. Czy jest tylko jedno takie położenie?

 

Dalej będziemy badać ruch królika, a dokładniej - trajektorię jego ucieczki, zależną od K₀.

Na poniższym rysunku można ustawić n = T. Widać wtedy jeden okres ruchu psa, czyli punkty od P₀ do P_T = P₀ oraz część trajektorii ucieczki; punkty od K₀ do K_T.
Znajdź takie położenie K₀, przy którym królik wróci do punktu startu, czyli gdy K_T = K₀ .
Sprawdź (empirycznie), że jest tylko jedno takie położenie, nazwijmy je K₀*.
Przy takim położeniu ruch królika jest okresowy, dalej będzie on skakał po własnych śladach. Dlaczego?

 

 

W przypadku p = q = 0, gdy pies skacze po wierzchołkach wielokąta foremnego P₀P₁...P_T-1, a królik, startując ze szczególnego punktu K₀*, skacze też okresowo i też po wierzchołkach wielokąta foremnego, podobnego do trajektorii P₀P₁...P_T-1 ruchu psa. Sprawdź. (Zmieniaj T, s.)

Zadanie 3*.  
Niech pies skacze po wierzchołkach kwadratu o boku 1 (p = q = 0, T = 4). Podaj konstrukcję punktu K₀*, gdy s = 0,5.

Zadanie 4*.  
Niech pies skacze po wierzchołkach sześciokąta foremnego o boku 1 (p = q = 0, T = 6). Podaj konstrukcję punktu K₀*, gdy s = 0,25.

Zadanie 5**.  
Niech pies skacze po wierzchołkach T-kąta foremnego o boku 1 (p = q = 0). Znajdź wzór opisujący miarę kąta K₀*P₀P₁, gdy s < 1.

 

 

Zobaczyliśmy poprzednio, że jest jeden szczególny punkt startu K₀*, przy którym ruch królika jest okresowy. A jaki jest ruch królika dla innych punktów startowych? Zobaczysz to na poniższym rysunku. Masz do dyspozycji dwa króliki K i K' i możesz zobaczyć n < 400 początkowych susów.
Co widać?

 

 

Można zauważyć, że:

Trudno jest ustawić K₀ w punkcie K₀*, nawet bardzo mała niedokładność powoduje, że otrzymujemy  trajektorię wyskakującą z patrolowanego obszaru.
Trajektoria, startująca z bliskiego sąsiedztwa punktu K₀*, przy nawet bardzo małych zmianach punktu startowego K₀ zmienia się bardzo gwałtownie.
Każda trajektoria królika, z wyjątkiem startującej z punktu K₀*, 'chwilę' kręci się w obszarze patrolowanym przez psa, po czym 'wyskakuje' i ucieka gdzieś daleko.
Dwie trajektorie startujące z bliskiego sąsiedztwa punktu K₀*, mogą mieć radykalnie różny przebieg, mogą wyskakiwać z patrolowanego obszaru w różnych miejscach i kierować się w diametralnie różnych kierunkach.

 

Zobaczmy jeszcze, jak wyglądają trajektorie 'daleko' od patrolowanego obszaru, gdy punkt startowy K₀ leży poza pewnym kołem zawierającym całą trasę psa.

 

 

Rysując dwie styczne (brązowe) do tego koła, przechodzące przez punkt K₀, otrzymamy kąt , w którym mieści się cała trajektoria. Nietrudno to elementarnie uzasadnić. Pomyśl, o kolejnych dwóch punktach K_j, K_j+1; gdyby K_j leżał w obszarze tego kąta, a K_j+1 nie, to gdzie byłby pies?

Nietrudno można też pokazać, że wtedy punkty trajektorii dość szybko oddalają się od punktu startu, w każdym skoku o nie mniej niż   cos(/2) ^. min{ |K_jK_j+1| : j=0,1,... } .

Wygląda na to, że poza obszarem patrolowanym trajektoria jest 'spokojniejsza', dość mało się wije i przybliża się do pewnej prostej. Na ogół nie jest to dwusieczna kąta , ale prosta dość jej bliska (ustaw n > 360).

 

---

 

To wszystko widać na powyższych rysunkach. Jak to wytłumaczyć, jak precyzyjnie uzasadnić?

Może wydawać się, że najprościej byłoby uzyskać wytłumaczenie na podstawie wzorów opisujących trajektorie. Niestety, matematyka wyższa podpowiada, że uzyskanie zwięzłych wzorów opisujących te trajektorie, jest sprawą bardzo trudną, a często beznadziejną. To znaczy wiadomo, że na ogół takich wzorów nie ma!

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.

Zobaczmy, że króliki oddalają się.

Na rysunku obok widać, że

K₂K₂'  >  K₁K₁'  >  K₀K₀' . Jednak można tak ustawić K₀, K₀', by zachodziła równość. Jak?
Można całkiem elementarnie pokazać (choć to nie jest typowe szkolne zadanie), że: gdy  K_j, K_j'  i  P_j  nie są współliniowe,
to   K_j+1K_j+1' > K_jK_j' .

Można wzmocnić tę tezę. Można podać, jak bardzo oddalają się króliki (nie podamy tu szczegółów). Taka własność wystarcza, by formalnie uzasadnić niemal wszystkie z powyższych obserwacji (poza tą o zbliżaniu się trajektorii do pewnej prostej).

Można też skorzystać z własności opisanych w bliźniaczym artykule .
Opisany tam ruch wilka jest przeszłością rozważanego tu ruchu królika (o ile ta przeszłość istnieje - patrz Ćwiczenie 1'''). To tak, jakby puścić czas w ujemną stronę.
Tam okazało się, że wilk, skądkolwiek (niemal) startując, będzie okresowo odwiedzał coraz bliższe okolice szczególnego punktu W₁* = K₀*. To oznacza, że królik, startując z okolicy tego punktu, dojdzie do owego skądkolwiek. Tłumaczy to gwałtowne zmiany trajektorii królików startujących z okolic punktu K₀*.

Poniższy rysunek ilustruje 'całą' przeszłość i przyszłość królika.

 

 

 

Dodajmy na zakończenie, że wykonane wcześniej rysunki rodzą wiele następnych, ciekawych pytań. Na przykład:
 
-  Które króliki nie mają przeszłości?
-  Które króliki mają skończoną przeszłość?
-  Czy trajektoria okresowa K* może być zapętlona?
-  Czy zapętlenie trajektorii okresowej K* jest zależne od s ? Jak?
-  Czy trajektoria okresowa K*, dla pewnego s, zawiera się w obszarze ograniczonym trajektorią okresowa dla s' > s ?
-  Czy trajektorie okresowe K* maleją do punktu, gdy s dąży do 0? Co to za punkt?
 
Sprecyzowanie tych pytań i uzasadnienia odpowiedzi wymaga (zapewne) pojęć i twierdzeń wyższej matematyki. Oglądając rysunki, można jednak spróbować postawić hipotezy.

 

---