Gwiazdy zegarowe - trygonometrycznie

Na cyferblacie o promieniu R zaznaczamy n 'godzin', zaczynając numerację od zera.
Gdy wędrujemy po tarczy, zaczynając od 0, krokiem k i łączymy odcinkami co k-tą 'godzinę', po pewnym czasie powrócimy do punktu 0. W ten sposób dostaniemy gwiazdę G (n, k). Tajemnice tych gwiazd odkrywaliśmy już w tekście Gwiazdy zegarowe - arytmetycznie. Zajrzyj tam koniecznie.
Tu zajmiemy się wyznaczaniem za pomocą trygonometrii charakterystycznych wielkości takich gwiazd.

Niektóre z tych gwiazd są wielokątami foremnymi wypukłymi, a inne - wielokątami foremnymi gwiaździstymi.
Dalej przez gwiazdę będziemy rozumieć łamaną, a nie obszar przez nią wyznaczony.
W szczególności o G (12, 6) myślimy, że jest łamaną 060, złożoną z dwóch odcinków.

Proponujemy szereg zadań, które pozwolą lepiej zrozumieć takie gwiazdy.
Na rysunkach umieściliśmy podpowiedzi do tych zadań – przesuwaj powoli suwaki.

Poniżej stale zakładamy, że k < n i że są to dodatnie liczby całkowite,
których największy wspólny dzielnik oznaczamy literą d,  d = NWD(k, n).
Zakładamy też, że każda z gwiazd jest wpisana w koło o (znanym) promieniu R.

 
Zadanie 1      
W zależności od R wyznacz:
  –   długość a boku,
  –   długość r promienia okręgu wpisanego   (stycznego do wszystkich boków),
  –   miarę kąta między sąsiednimi bokami,
w gwieździe:
    a)  G (17, 6),     b)  G (42, 13),     c)  G (n, k),     d)  G (28, 22).

Odpowiedź.  Do podpunktu c) :

(Po co te wartości bezwzględne?)

Boki gwiazdy wyznaczają w środku pewien wypukły wielokąt foremny. Nazwijmy go wielokątem wewnętrznym.

 
Zadanie 2      
W zależności od R wyznacz długość a_w boku i promień R_w okręgu opisanego na wielokącie wewnętrznym, w gwieździe:
    a)  G (14, 5),     b)  G (40, 7),     c)  G (n, k),     d)  G (21, 25).

Odpowiedź.  Do podpunktu c) :

Gdy wielokąt wycięty przez gwiazdę nie jest wypukły, to łamana G (n, k) ma wiele punktów, w których przecinają się jej boki, tzn. ma punkty samoprzecięcia. Leżą one na współśrodkowych okręgach - ringach.

 
Zadanie 3      
W zależności od R wyznacz promienie ringów punktów samoprzecięcia w gwieździe:
    a)  G (19, 6),     b)  G (43, 15),     c)  G (n, k),     d)  G (30, 22).

Gdy wielokąt wycięty przez gwiazdę nie jest wypukły, to łamana ograniczająca jego pole ma szereg wgięć. Tę łamaną nazwiemy obwiednią gwiazdy.

 
Zadanie 4      
W zależności od R wyznacz bok obwiedni i promień okręgu, na którym leżą 'wklęsłe' wierzchołki obwiedni w gwieździe:
    a)  G (7, 2),     b)  G (43, 15),     c)  G (n, k),     d)  G (24, 14).

Poniżej widać, że najbardziej 'wcięte' są gwiazdy, gdy k jest prawie połową n (pomijamy teraz osobliwy przypadek k = n/2). Dla dużych n i k będących prawie n/2, gwiazda jest bardzo 'wcięta', a zarazem bardzo 'gęsta'. Jaka więc właściwie jest: mała, czy duża?

To były oczywiście nieprecyzyjne pytania, nie określiliśmy ani miary wcięć, ani miary gęstości.
Zamiast tego zapytajmy, jakie pola mają takie gwiazdy,
a dokładniej - jakie pola ograniczają obwiednie tych gwiazd.
Najwygodniej będzie porównywać je z polem koła.

 
Zadanie 5      
Niech n = 4m i niech k = 2m – 1. Pokaż, że:

Wskazówki      
Pokaż, że:
    a)   d = NWD(k, n) = 1.
    b)   0T = TS  (oznaczenia z rysunku); porównaj kąty.
    c)   połowa pola G (n, k) jest równa polu n-kąta foremnego opisanego na okręgu o promieniu R/2.

 
Zadanie 6*      
Niech n = 2k + 1. Pokaż, że:

 
Zadanie 7      
Niech n = 4m + 2 i niech k = 2m. Pokaż, że:

 
Zadanie 8*      
Pokaż, że:

Ostatnie zadanie pokazuje, że nie ma jednoznacznej odpowiedzi na postawione pytanie.
Dla dużych n i k prawie równych n/2, pola gwiazd G (n, k) są albo prawie równe 1/2, albo prawie równe 1/3 pola koła o promieniu R. Zależy to od tego, czy n jest, czy nie jest podzielne przez 4.

 
Zadanie 9*      
Czy pole każdej gwiazdy G (n, k), z wyjątkiem n = 2k jest większe od 1/3 pola koła o promieniu R?