Ile ma podstaw?

Ile trójkąt ma podstaw?

To pytanie wygląda na bezsensowne do czasu, gdy pomyślimy o sile ciężkości.
Niech trójkąt zrobiony jest z deseczki, na tyle grubej, że może stać na swoich bokach.
Wtedy f-podstawą trójkąta nazwiemy bok, na którym rzeczywiście może on stać.
Zasadne jest zatem pytanie ile trójkąt ma podstaw, czy raczej

ile trójkąt ma f-podstaw.

Fizycy mówią, że f-podstawa ma tę własność, że środek ciężkości S nie wystaje poza obręb f-podstawy, tzn. pada na nią przy rzutowaniu prostokątnym. W trójkącie środek ciężkości jest punktem przecięcia środkowych.
Zobaczmy kiedy bok BC trójkąta ABC nie jest f-podstawą.

 

 

Widać, że:

bok BC nie jest f-podstawą trójkąta ABC
wtedy i tylko wtedy, gdy
BCS  >  90^o     lub     CBS  >  90^o.

Można też powiedzieć inaczej:

bok BC nie jest f-podstawą trójkąta ABC
wtedy i tylko wtedy, gdy
spodek wysokości A' leży poza bokiem BC w odległości większej niż |BC|.

Bywa, że bok jest f-podstawą, ale nawet przy małym podmuchu wiatru trójkąt się przewraca.
Powiemy, że bok BC jest chybotliwy, gdy BCS  =  90^o   lub   CBS  =  90^o.

Gdy obliczysz wysokość h = AA', zobaczysz twierdzenie.

TWIERDZENIE 1.   Niech w trójkącie boki mają długości: a, b, c, gdzie a b c.

Bok o długości a jest chybotliwy
wtedy i tylko wtedy, gdy
3 a ²  +  b ²   =   c ².

 

Zobacz, że:

jeśli punkt O leży we wnętrzu trójkąta ABC i BCO    90^o,
to każdy z kątów: CAO, CBO, ABO, ACO, BAO jest ostry. Wynika to z twierdzenia o sumie kątów trójkąta.
Zatem tak jest również dla środka ciężkości S. Stąd mamy kolejne twierdzenie.

TWIERDZENIE 2.   Każdy trójkąt ma co najmniej dwie f-podstawy.

ZADANIE 1.   W poniższych stwierdzeniach wstaw nierówności w miejsce kropek.
Niech w trójkącie boki mają długości: a, b, c, gdzie a b c.
  a)  Trójkąt ten ma chybotliwy bok wtedy i tylko wtedy, gdy  3 a ²  +  b ²   . . .   c ².
  b)  Trójkąt ten ma dokładnie dwie f-podstawy wtedy i tylko wtedy, gdy  3 a ²  +  b ²   . . .   c ².
  c)  Trójkąt ten ma trzy f-podstawy wtedy i tylko wtedy, gdy  3 a ²  +  b ²   . . .   c ².

ZADANIE 2.   Na poniższym rysunku widać trójkąty ABC, w których C    90^o.
Gdzie musi leżeć wierzchołek C, aby ten trójkąt miał:
     a)   chybotliwy bok,
     b)   dokładnie dwie f-podstawy?

 

 

 

---

 

Można pytać o f-podstawy nie tylko dla trójkąta.
Dalej rozważać będziemy wielokąty wypukłe.
Musimy jednak sprecyzować, gdzie leży ich środek ciężkości.

UMOWA.   Punkt S jest (geometrycznym) środkiem ciężkości wielokąta P₁P₂P₃...P_n, gdy

Fizycznie oznacza to, że cała masa wielokąta rozłożona jest równomiernie TYLKO w wierzchołkach. Możemy wyobrażać sobie, że wierzchołki wielokąta to jednakowo ciężkie kulki zatopione w bardzo lekkim (praktycznie nieważkim) wielokącie. Ponadto ma on pewną grubość, więc możemy próbować stawiać go na bokach.

Na poniższym rysunku pokazano, dlaczego środek odcinka łączącego środki przeciwległych boków czworokąta, jest środkiem ciężkości tego czworokąta.

 

 

Czy podstawy trapezu są jego f-podstawami?

Zadziwiające, ale istnieją trapezy, w których żadna z podstaw nie jest f-podstawą. Sprawdź to na poniższym rysunku. (Co fizycy myślą o matematykach? Lepiej nie pytać!)

 

 

Czy trapez może mieć tylko jedną f-podstawę?

Zobaczmy, że istnieją takie czworokąty P₁P₂P₃P₄, że dla pewnego punktu wewnętrznego O,
kąty P₁P₂O, P₂P₃O, P₃P₄O, są rozwarte. Gdyby punkt O był środkiem ciężkości, to taki czworokąt miałby tylko jedną f-podstawę, bok P₄P₁O.
Jednak wtedy O nie jest środkiem ciężkości (patrz [wskazówki]).

 

 

Zobaczmy, że istnieją takie czworokąty P₁P₂P₃P₄, że dla pewnego punktu wewnętrznego O,
kąty P₁P₂O, P₂P₃O, P₁P₄O, są rozwarte. Gdyby punkt O był środkiem ciężkości, to taki czworokąt miałby tylko jedną f-podstawę, bok P₃P₄O.
Jednak wtedy O nie jest środkiem ciężkości (patrz [wskazówki]).

 

 

Powyższe obserwacje dają jeszcze jedno twierdzenie.

TWIERDZENIE 3.   Każdy czworokąt (wypukły) ma co najmniej dwie f-podstawy.

Dla fizyka poniższe twierdzenie jest oczywiste. My uzasadnimy je czysto geometrycznie.

TWIERDZENIE 4.   Każdy wielokąt wypukły ma co najmniej jedną f-podstawę.

Dowód.   Przypuśćmy, że żaden bok wielokąta nie byłyby jego f-podstawą. Dla środka ciężkości S
(i odpowiedniej numeracji wierzchołków) wszystkie kąty:

P₁P₂S, P₂P₃S, P₃P₄S, ... P_n-1P_nS, P_nP₁S, byłyby rozwarte.
Wtedy zachodziłyby nierówności: P₁ > P₂ > P₃ > P₄ > ... > P_n-1 > P_n > P₁. Stąd P₁ > P₁, co jest niemożliwe, czyli przypuszczenie, że wielokąt nie ma f-podstaw jest fałszywe.

 

Istnieją wielokąty o dużej liczbie boków, ale o dokładnie dwóch f-podstawach.
Wyobraź sobie 'bardzo pochyły' trapez (którego podstawy nie są f-podstawami) i nieco powyginaj jego podstawy, to znaczy zrób z tego trapezu 2n-kąt. Gdy to wyginanie będzie bardzo małe, to tylko oryginalne ramiona trapezu będą jedynymi f-podstawami tego wielokąta (zrób rysunek).

 

---

 

Czy istnieją wielokąty wypukłe z dokładnie jedną f-podstawą?

Na poniższym rysunku zaznaczone łuki są trochę mniejsze od półokręgów. Gwarantują, że przesuwając po nich wierzchołki, nie zmienimy wskazanych kątów.
Punkt S jest geometrycznym środkiem ciężkości - nie podajemy tu sposobu jego wyznaczania.
Przesuwając 'pogrubione' punkty (np. P₂), możesz spowodować, że S = O.
Wtedy otrzymasz 15-kąt o dokładnie jednej f-podstawie.

 

 

Na poniższym rysunku można otrzymać 13-kąt o dokładnie jednej f-podstawie.
Można też uzyskać 13-kąt o 12 chybotliwych bokach.

 

 

 

---

---

 

Poprzednie dwa wielokąty mają pewną własność, którą teraz dokładniej omówimy na przykładzie ostatniego z nich. Na poniższym rysunku przesuwaj punkt P po obwodzie. Co widać?

 

 

Widać, że ruszając z P₁, sprawiamy, że stale maleje odległość OP (bo kąty P_kP_k+1O są rozwarte).
Najmniejszą odległość OP uzyskamy w punkcie H
(będącym spodkiem wysokości trójkąta P₁P₁₃O).
Kontynuując wędrówkę punktu P po obwodzie, odległość stale rośnie aż wrócimy do punktu P₁.
Nie każdy wielokąt ma taką własność. Nazwijmy ją kluczową.

KLUCZOWA WŁASNOŚĆ

W czasie (jednokrotnego) obejścia obwodu wielokąta,
odległość do punktu O
na jednej części obwodu stale maleje,
a na pozostałej części - stale rośnie.

Teraz pomyślmy o dwusiecznej kąta P₁HO. Dzieli ona wielokąt na dwie części. Część, w której leży punkt H, odbijamy względem tej prostej (suwak [show]).
Cała odbita część mieści się w wielokącie. Wynika to z kluczowej własności.
(Sprawdź to, przesuwając punkt P).

Po co to wszystko?
Gdy wielokąt jest zrobiony z prawdziwej ciężkiej deski (o stałej grubości), bez żadnych ciężkich kulek w wierzchołkach,
to jego prawdziwy, fizyczny środek ciężkości F nie może znajdować się w punkcie O.
Wielokąt położony na płasko na owej dwusiecznej, przechyli się na stronę punktu P₁.
(Proste przechodzące przez fizyczny środek ciężkości, są nazywane prostymi równowagi).

Tak samo rozumując, otrzymamy następne twierdzenie.

TWIERDZENIE 5.   Każdy wypukły wielokąt, wycięty z prawdziwej deski (o stałej gęstości), ma co najmniej dwa boki, na których można go postawić, czyli ma co najmniej dwie prawdziwe podstawy.

Kluczowa własność może dotyczyć nie tylko wielokątów.
Taką własność ma na przykład wańka-wstańka (dwuwymiarowa).
Tej zabawki nie można przewrócić, przechylona wraca do wyjściowego położenia.
Powyższe twierdzenie mówi w tym wypadku, że wańka-wstańka nie ma stałej gęstości, w pobliżu swojego punktu H ma dużo większą gęstość niż w pozostałej części. Nie da się jej wykonać z jednorodnej deski.

 

---