Kąt pomiędzy prostymi skośnymi

Czy można mówić o kącie pomiędzy dwiema prostymi,
które nie mają punktów wspólnych?

To zależy od... tego, jak się umówimy.
W pewnych zadaniach wygodnie jest posłużyć się takim pojęciem, kątem pomiędzy parą prostych skośnych (prostych, które nie leżą w jednej płaszczyźnie). 

Jak to jest na płaszczyźnie?

Dla prostych na płaszczyźnie można przyjąć:

jeśli przez obrót o kąt
możemy nałożyć jedną prostą na drugą,
to nazywamy kątem pomiędzy tymi prostymi.

Czy w przestrzeni takie określenie jest poprawne?

Na przykład jak to jest dla prostych AB' i DA' z rysunku obok?
Jakim obrotem można nałożyć prostą DA' na prostą AB' ?

Przyjmiemy następujące określenie:

Powiemy, że

jest kątem pomiędzy prostymi a i b,
gdy istnieje taka prosta a', która
jest równoległa do a,
leży w jednej płaszczyźnie z prostą b
oraz a' i b tworzą kąt o mierze .

Na przykład 60^o jest kątem pomiędzy prostymi AB' i DA', bowiem prosta DC' jest równoległa do AB' i przecina prostą DA' pod kątem 60^o
(bo trójkąt A'DC' jest równoboczny).

Uwaga. Jest wiele prostych a' równoległych do a i leżących z b w jednej płaszczyźnie.
Wystarczy odpowiednio przesunąć a.
Można też zamienić rolami proste a i b, czyli przesuwać b do a.

Teraz należałoby uzasadnić, że takie określenie jest wolne od wad poprzedniego (z obrotami), to znaczy należałoby sprawdzić, że jeśli proste a' i a'' są równoległe a oraz a', b leżą w jednej płaszczyźnie i a'', b leżą w jednej płaszczyźnie, to a', b i a'', b tworzą jednakowe kąty (ostre).

Uwaga (tylko dla dorosłych)  

To jest niemal ten sam problem, co sprawdzenie, że jeśli wektory = ' oraz = ', to kąt pomiędzy i ma tę samą miarę co kąt pomiędzy ' i ', czyli że można go obliczać przy pomocy iloczynu skalarnego.
Można powiedzieć: kąt pomiędzy prostymi jest wyznaczony przez kąt pomiędzy wektorami leżącymi na tych prostych.

Zamiast tego proponujemy ćwiczenia (kształtujące przede wszystkim wyobraźnię przestrzenną).

Niech ABCDEFA'B'C'D'E'F' oznacza graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego wszystkie krawędzie mają długość 1.

Ćwiczenie AB. Wskaż (o ile istnieją) trzy proste wyznaczone przez wierzchołki graniastosłupa, skośne do AB i które tworzą z prostą AB

      kąt 90^o :     . . . . . .

      kąt 60^o :     . . . . . .

      kąt 45^o :     . . . . . .

      kąt 30^o :     . . . . . .

Ćwiczenie AB'. Wskaż (o ile istnieją) trzy proste wyznaczone przez wierzchołki graniastosłupa, skośne do AB' i które tworzą z prostą AB'

      kąt 90^o :     . . . . . .

      kąt 60^o :     . . . . . .

      kąt 45^o :     . . . . . .

      kąt 30^o :     . . . . . .

Ćwiczenie AC. Wskaż (o ile istnieją) trzy proste wyznaczone przez wierzchołki graniastosłupa, skośne do AC i które tworzą z prostą AC

      kąt 90^o :     . . . . . .

      kąt 60^o :     . . . . . .

      kąt 45^o :     . . . . . .

      kąt 30^o :     . . . . . .

Ćwiczenie AC'. Wskaż (o ile istnieją) trzy proste wyznaczone przez wierzchołki graniastosłupa, skośne do AC' i które tworzą z prostą AC'

      kąt 90^o :     . . . . . .

      kąt 60^o :     . . . . . .

      kąt 45^o :     . . . . . .

      kąt 30^o :     . . . . . .

Ćwiczenie AD'. Wskaż (o ile istnieją) trzy proste wyznaczone przez wierzchołki graniastosłupa, skośne do AD' i które tworzą z prostą AD'

      kąt 90^o :     . . . . . .

      kąt 60^o :     . . . . . .

      kąt 45^o :     . . . . . .

      kąt 30^o :     . . . . . .

Ćwiczenie AO'. Wskaż (o ile istnieją) trzy proste wyznaczone przez wierzchołki graniastosłupa, skośne do AO' i które tworzą z prostą AO'

      kąt 90^o :     . . . . . .

      kąt 60^o :     . . . . . .

      kąt 45^o :     . . . . . .

      kąt 30^o :     . . . . . .