Sposobem na obliczanie objętości klinów wyciętych z walca okazało się podzielenie ich na mniejsze kliny (zajrzyj koniecznie do artykułu Klina klinem). Czy jest to dobra metoda także dla klinów wyciętych ze stożka? Sprawdź!
Klin wycinamy ze stożka (o promieniu podstawy R i wysokości H) płaszczyzną przechodzącą przez średnicę AB podstawy. Wielkość otrzymanego klina zależy od kąta nachylenia tej płaszczyzny do podstawy stożka.
Klin ten ma trzy niby-ściany, nazwiemy je:
- podstawa, ściana będącą połową podstawy stożka,
- skos, ściana zawarta w płaszczyźnie tnącej,
- kora, ściana będąca częścią powierzchni bocznej stożka.
Pierwsze dwie są płaskie. Kora może być rozprostowana (tak jak powierzchnia boczna stożka).
Korę przybliżamy płotem zbudowanym ze sztachet (podobnie jak robilismy to dla klinów wycinanych z walca). Zobaczmy, jak wygląda pojedyncza sztacheta KLMN.
Jest ona wyznaczona przez punkt P, leżący na półokręgu podstawy i przez szerokość odcinka KL (stycznego do półokręgu w P, z punktem P w środku). Punkty M, N leżą na płaszczyźnie skosu. KLMN nie jest trapezem (za wyjątkiem przypadku P=C). Jest to fragment trójkąta WKL, przybliżającego część powierzchni bocznej stożka.
Wszystkie takie sztachety (niezależnie od położenia P i szerokości) są tak samo nachylone do podstawy, tzn. pod kątem, jaki z podstawą tworzą tworzące stożka: OPW = OCW.
Gdy połączymy wierzchołki sztachety z punktem O, zobaczymy mały klinek - ostrosłup KLMNO o podstawie KLMN.
Zobacz, że te małe kliny mają taką samą wysokość h (obróć sztachetę).
Spodek wysokości, punkt OKLMN, nie zawsze leży na podstawie. Leży na płaszczyźnie wyznaczonej przez podstawę (czyli na płaszczyźnie trójkąta KLW).
Co więcej, wysokość klinka jest prostopadła do tworzącej PW, zatem wszystkie klinki mają wysokość h równą wysokości trójkąta WOC, opuszczonej z O na bok WC, stąd
Wszystkie małe klinki razem przybliżają duży klin. Zatem objętość V klina jest (niemal) równa sumie objętości małych klinów. Ponieważ mają one jednakową wysokość h, obliczając sumę ich objętości można oddzielnie zsumować pola podstaw i potem pomnożyć przez h. Suma pół tych podstaw jest (niemal) równa polu powierzchni kory. Zatem:
Jak obliczyć pole powierzchni kory?
Na poniższym rysunku zaznaczono cień skosu (ciemnoniebieski) i cień kory (jasnoniebieski).
(Używamy tu słowa 'cień' jako skrótu od: 'rzut prostokątny na podstawę stożka'.)
Przyglądając się zielonemu prostokątowi (na skosie) i jego szaremu cieniowi (na podstawie), zobaczymy, że
Podobnie jest dla kory - pomyśl o prostokątach narysowanych na sztachetach o jednej parze boków równoległych do podstawy. Mamy teraz:
Dalej obliczymy szczegóły przy dodatkowym założeniu:
czyli gdy WC / OC = OD / OD' .
Wtedy łatwo jest wyznaczyć pole powierzchni całkowitej klina:
+ WC / OC × pole podstawy,
Przy tym dodatkowym założeniu można zauważyć (jak zrobił to już Archimedes), że linia rozgraniczająca cienie skosu i kory jest fragmentem paraboli.
Mianowicie najpierw zauważ, że 'zgięty niby-trójkąt' PZXU jest 'podobny' do COD.
Dalej sprawdź, że OZ = ZY, czyli że punkty linii rozdzielającej cienie leżą w jednakowej odległości od punktu O i od prostej stycznej do półokręgu w punkcie C.
Dalej elementarnie można sprawdzić, że obszar pomiędzy parabolą a odcinkiem AB ma pole równe 2/3 R 2 (patrz: zadanie 5 i wniosek C z tekstu Parabola bez rachunków). Zatem
pole cienia skosu =
,
pole cienia kory =
,
,
pole kory =
,
pole klina =
,
objętość klina =
,
Na zakończenie zobaczmy dowód twierdzenia:
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
