Koła opasane

W tym tekście nie ma żadnego rysunku, ale to nie znaczy, że rysunki są tu niepotrzebne. Bądź (samo)dzielny!

 
Przypomnijmy:

DEFINICJA 1.      Jeśli na brzegu koła k leżą wszystkie wierzchołki wielokąta w, to k nazywamy kołem OPISANYM na w. Niech R_opi i O_opi oznaczają odpowiednio jego promień i środek.

Koło opisane na wielokącie zawiera ten wielokąt. Czasami istnieją mniejsze koła, które też zawierają ten wielokąt.
Ogólnie powiemy:

DEFINICJA 2.      Jeśli koło k zawiera figurę f i żadne koło o promieniu mniejszym nie zawiera f, to k nazywamy kołem OPASANYM na f. Niech R_opa i O_opa oznaczają odpowiednio jego promień i środek.

Zbadamy koła opasane na danej figurze.

 
ZADANIE 1.      Rozważmy trapez równoramienny o podstawach a, b i wysokości h.
Gdzie leży środek i jaki jest promień koła opasanego na tym trapezie, jeśli:

      a)   a = 10, b = 6 i h = 1 ?             b)   a = 10, b = 6 i h = 3 ?

      c)   a = 10, b = 6 i h = 4 ?             d)   a = 10, b = 6 i h = 5 ?

      e*)   a = 10, b = 6 ?

 
ZADANIE 2.     
      a)   Dlaczego koło opisane na kwadracie jest jednocześnie kołem opasanym na tym kwadracie?

      b)   Dlaczego koło opisane na prostokącie jest jednocześnie kołem opasanym na tym prostokącie?

 
ZADANIE 3.      Gdzie leży środek i jaki jest promień koła opasanego na:

      a)   rombie?                   b)   równoległoboku?

 
ZADANIE 4.      Istnieją trójkąty, dla których  R_opi > R_opa.

      a)   Dla jakich trójkątów  R_opi > R_opa?

      b)   Jeśli dla trójkąta  R_opi > R_opa, to gdzie leży środek  O_opa?

      c)   Jeśli dla trójkąta  R_opi > R_opa, to jaki jest promień  R_opa?

 
ZADANIE 5.      Gdzie leży środek i jaki jest promień koła opasanego na:

      a)   półokręgu o promieniu r?

      b)   ćwiartce koła o promieniu r?

      c)   ćwiartce okręgu o promieniu r?

      d)   wycinku koła o promieniu r i kącie rozwarcia równym 120^o?

      e)   łuku okręgu o promieniu r i kącie rozwarcia równym 120^o?

      f)   wycinku koła o promieniu r i kącie rozwarcia równym 60^o?

      g)   łuku okręgu o promieniu r i kącie rozwarcia równym 60^o?

      h*)   wycinku koła o promieniu r i kącie rozwarcia równym 45^o?

      i)   łuku okręgu o promieniu r i kącie rozwarcia równym 45^o?

 
ZADANIE 6.      Niech f oznacza część wspólną dwóch kół o promieniu r i środkach O₁, O₂.
Gdzie leży środek i jaki jest promień koła opasanego na f, gdy:

      a)   r = 10 i | O₁O₂ | = 10?

      b)   r = 10 i | O₁O₂ | = 18?

      c)   r = 10 i | O₁O₂ | = 2?

      d)   0 < | O₁O₂ | < 2r?

Uzasadnienie poniższego twierdzenia jest łatwe tylko przy użyciu pojęć matematyki wyższej. Przyjmijmy je zatem bez dowodu.

 
TWIERDZENIE 1.      Jeśli f jest figurą ograniczoną (co najmniej dwupunktową), istnieje koło opasane na f.

 
ZADANIE 7.      Niech f będzie figurą ograniczoną (co najmniej dwupunktową).
Uzasadnij, że jest tylko jedno koło opasane na f.

WSKAZÓWKA.      Patrz zadanie 6.

 
ZADANIE 8.      Niech f będzie ograniczoną figurą osiowosymetryczną (co najmniej dwupunktową) i niech S oznacza jej oś symetrii. Uzasadnij, że środek O_opa koła opasanego należy do S.

 
ZADANIE 9.      Niech f będzie ograniczoną figurą środkowosymetryczną (co najmniej dwupunktową) i niech P oznacza jej środek symetrii. Czy środek O_opa koła opasanego pokrywa się z punktem P?

 
ZADANIE 10*.    Niech ABCD będzie wypukłym czworokątem.Czy koło opasane na ABCD:

      a)  pokrywa się z jednym z kół opisanych na trójkątach: ABC, BCD, CDA, DAB?

      a')  pokrywa się z jednym z kół opasanych na trójkątach: ABC, BCD, CDA, DAB?

      b)  ma promień nie dłuższy od promienia każdego z kół opisanych na trójkątach: ABC, BCD, CDA, DAB?

      b')  ma promień nie dłuższy od promienia każdego z kół opasanych na trójkątach: ABC, BCD, CDA, DAB?

      b'')  ma promień nie krótszy od promienia każdego z kół opasanych na trójkątach: ABC, BCD, CDA, DAB?

      c)  ma średnicę nie dłuższą od przekątnych czworokąta ABCD?

      c')  ma średnicę nie krótszą od przekątnych czworokąta ABCD?