Koła w narożach

Data ostatniej modyfikacji:
2017-01-2
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna

W trójkąt można wpisać koło (tu oznaczone literą w; jego promień oznaczamy r). W powstałe naroża dalej można wpisywać kolejne koła, jak na poniższych rysunkach. Kół jest w każdym narożu nieskończenie wiele, czego już na rysunkach nie widać.

Na powyższym rysunku wszystkie trójkąty mają równe pola. Na oko widać, że koła wpisane w te trójkąty w nie mają jednakowych pól. Powstaje pytanie, czy suma pól wszystkich kół (wpisanego w i wpisanych w kolejne naroża) jest w tych trójkątach taka sama.
Innymi słowy, czy stosunek
                     
jest stały?


 
 
 
 
Najpierw obliczymy, jaki jest stosunek

w trójkącie równobocznym ABC.

Dalej wystarczy sprawdzić, czy w innych trójkątach ten stosunek jest taki sam.

Zamiast rachować, po prostu zobaczmy.

 



 

Można się zastanawiać, dlaczego przedstawiam tu tak zawiłe rozumowanie.
Odpowiedź jest prosta: nie znam prostszego.
Poniżej przedstawiam inne rozwiązanie, w którym konieczna jest znajomość wzoru na sumę postępu geometrycznego.

 



 

Jak to zrobić w Geogebrze?

 



 

Powrót na górę strony