Kule w ośmiościanie foremnym

Data ostatniej modyfikacji:
2015-08-25
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria przestrzenna
Rysunki 3D utworzono apletem z www.javaview.de/.


 

Kule osadzone w ośmiościanie foremnym są wyzwaniem dla miłośników geometrii. Zobacz, jak wyglądają, i rozwiąż kilka zadań.

Wszystko będzie się działo w ośmiościanie foremnym ABCDEF o krawędziach długości a = 1. Warto zauważyć, że można przyjąć:
  A(a/, 0, 0), B(0, a/, 0), C(-a/, 0, 0), D(0, -a/, 0), E(0, 0, a/), F(0, 0, -a/),
albo
  A(a/2, a/2, 0), B(-a/2, a/2, 0), C(-a/2, -a/2, 0), D(a/2, -a/2, 0), E(0, 0, a/), F(0, 0, -a/).

 


 

Zadanie (1).   W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1 rozmieszczonych jest 6 jednakowych kul, po jednej w każdym narożu ośmiościanu. Każda jest styczna do ścian schodzących się w tym narożu i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku).
 a)   Wyznacz długość promieni tych kul.
 b)   Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).

    Rysunek 3D  

Zadanie (2).   W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1 rozmieszczonych jest 8 jednakowych kul, po jednej przy każdej ścianie. Każda kula jest styczna do innej ściany i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku).
 a)   Wyznacz długość promieni tych kul.
 b)   Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).

    Rysunek 3D  

Zadanie (3).   W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1 rozmieszczonych jest 12 jednakowych kul, po jednej przy każdej krawędzi.Każda kula jest styczna do ścian schodzących się w tej krawędzi i jest styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku).
 a)   Wyznacz długość promieni tych kul.
 b)   Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).

    Rysunek 3D  

 


 

Do dalszej lektury zapraszamy tych Czytelników, którzy rozwiązali chociaż jeden podpunkt któregoś z powyższych zadań
 

 



 

Powrót na górę strony