Uwaga.
Tylko zadania z gwiazdką wymagają znajomości trygonometrii.
Operator dźwigu-żurawia musi znać różne sposoby określania miejsc na placu budowy. Szczególnie jest to ważne w przypadku mgły i o zmierzchu.
Oprócz zwykłych (kartezjańskich) współrzędnych (x, y, z ), w użyciu są żurawi(n)owe współrzędne, które będziemy notować w nawiasach kwadratowych [r,
,
h ].
Rysunek do Zadania Ż.1.
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać wszystkie wypełnione punkty.
Z ADANIE Ż.1.
Znajdź żurawi(n)owe współrzędne naroży budynku (stare współrzędne odczytaj z rysunku)
i wierzchołków P, Q dwóch słupów, gdy:
a)
P = (3, 3, 1,5), Q = (4, -4, 0,5),
A = (-3, -3, 1),
B = (-2, 2, 1),
C = (-5, 5, 1),
Warto pamiętać:
- przekątna kwadratu o boku 1 ma długość około 1,4,
- wysokość trójkąta równobocznego o boku 1 ma długość około 0,9.
b)
P = (0, 4, 2),
Q = (4,5, 0, 2,75),
c)
P = (-3,5, 3,5, 1,25),
Q = (-4,5, -4,5, 2,25).
Z ADANIE Ż.2.
Wyznacz stare (kartezjańskie) współrzędne punktów, których żurawi(n)owe współrzędne są równe:
a)
A = [3, 0o , 2],
B = [4, 90o , 5],
C = [1, 270o , 1,5],
D = [1, 45o , 1],
E = [1, 135o , 2],
F = [4, 315o , 2],
G = [3, 45o , -2],
H = [1, 450o , 2],
b)
I = [1, 60o , 2],
J = [3, 30o , 1],
K = [2, 300o , 3,5],
L = [4, 210o , 4,5],
M = [1, 150o , 2],
N = [3, 330o , 1],
P = [0, 300o , 3,5],
Q = [-4, 90o , 5].
Z ADANIE Ż.3.
Wiedząc, że P = (1, 2, 3) ma nowe współrzędne równe (około) [2,24, 63,5o , 3],
oraz że Q = (4, 3, 2) ma nowe współrzędne równe (około) [5, 37o , 2],
wyznacz nowe współrzędne podanych punktów:
A = (2, 4, 1),
B = (-2, -4, 2),
C = (3, 4, 1),
D = (-3, -4, 5),
E = (1,5, 2, 3),
F = (4, -3, 1),
G = (-4, 2, 3),
H = (4,5, 6, 1),
I = (-6, -4,5, 3,5),
J = (-4, -4, 3),
K = (-4, 2, 3),
L = (-4, -2, 5).
Rysunek do Zadania
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać wszystkie wypełnione punkty.
Z ADANIE Ż.4.
Żuraw stoi w środku okrągłego placu budowy o promieniu 4.
Siatka ogrodzenia będzie rozpięta na n palikach rozmieszczonych równomiernie wzdłuż obwodu. Każdy palik będzie wkopany na głębokość 0,5 metra. Podaj żurawi(n)owe współrzędne dołków pod paliki, gdy:
a)
n = 30,
b)
n = 60,
c)
n = 90,
a)
n = 120.
Na poniższym rysunku zobaczysz (przesuń suwak [t>]) dwie różne drogi pokazujące dwa różne sposoby przeniesienia żurawiem ładunku z punktu P do punktu K = Q :
- niebieska :
<
r = 2,2 ,
= 135o ,
h = -1
> ,
to znaczy: najpierw zwiększamy zasięg r , potem kręcimy i na koniec obniżamy,
- czarna : <
h = -1 ,
= 135o ,
r = 2,2
> ,
to znaczy: najpierw obniżamy, potem kręcimy i na koniec zwiększamy zasięg r .
Są jeszcze inne drogi, np.:
<
r = 2,2 ,
= -225o ,
h = -1
> ,
<
h = -2 ,
= 135o ,
r = 2,2 ,
h = 1
> .
Ta ostatnia jest 'nieoszczędną' drogą, 'na raty'.
Rysunek do Zadania Ż.5.
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać wszystkie wypełnione punkty.
Z ADANIE Ż.5.
Znajdź stare i nowe współrzędne punktu K , końca drogi z P do K , gdy:
a)
P = (0, 2, 2), a droga ma kod:
<
r = 1 ,
= 90o ,
h = 2
> ,
<
r = -1 ,
= 180o ,
r = 2 ,
= 90o ,
h = 2.25
> ,
<
= -45o ,
r = -1 ,
= -45o ,
h = 1,
= -45o ,
h = 0,5,
= -45o
> ,
b)
P = (-4, -4, 1), a droga ma kod:
<
r = -2,8 ,
= -90o ,
h = 1,25,
> ,
<
= 15o ,
h = 1 ,
= 15o ,
h = -1 ,
= 15o ,
r = -1 ,
= 45o ,
r = 1
> ,
<
= 150o ,
r = -1,4 ,
= 75o ,
h = 1
> ,
<
h = 1,
= 180o ,
r = -1 ,
= 180o ,
h = -1,
r = 1
> .
Czasami trzeba transportować ładunek 'na raty', by nie rozbić go o mury lub inne przeszkody. W szczególności, gdy zbudowano ściany parteru budynku, to ładunek można włożyć do środka tylko od góry.
Rysunek do Zadania Ż.6.
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać wszystkie wypełnione punkty.
Z ADANIE Ż.6.
Znajdź drogi z P do A , z P do B
i z P do punktu (3,3,0) położonego w obrębie ścian budynku (nie zbudowano jeszcze stropu ABCD ), gdy:
a)
P = (0, 2, 2),
A = (1,5, 1,5, 2,5),
B = (3,5, 0, 2,5),
b)
P = (-3, 4, 2),
A = (1,5, 3, 2,5),
B = (3,5, 1,5, 2,5),
(por. zad. 3).
Z ADANIE Ż.7.
Podaj po trzy punkty, których żurawi(n)owe współrzędne
[r,
,
h ]
spełniają podane warunki.
Jak nazywają się zbiory wszystkich punktów, spełniających podane warunki?
a)
r = 2,
= 45o ,
h 2,
b)
= 45o ,
h = 2,
c)
r = 2, h = 1,
d)
r 2,
90o
180o ,
h = 3,
e)
1 r 2,
= 225o ,
2 h 4,
f)
r 4,
65,5o
245,5o ,
0 h 1,
g)
| 123o -
|
= 90o ,
1 h ,
h*)
1 r 2,
= 225o ,
0 h
4 . r ,
i*)
r = 4 / cos ,
0o
60o ,
h = 0 ,
j*)
r
2 / cos ,
-30o
30o ,
h = r ,
k**)
r
3 / sin ,
45o
90o ,
h 2
r 2 (
sin2 -
cos2 ) .
Z ADANIE Ż.8*.
Podaj opis ścian budynku (we współrzędnych żurawi(n)owych, jak w zadaniu 7) i innych figur przedstawionych na rysunkach:
a*)
b*)
Rysunek do Zadania Ż.8.
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać wszystkie wypełnione punkty.
Z ADANIE Ż.9.
W fachowej literaturze współrzędne żurawi(n)owe noszą nazwę współrzędnych cylindrycznych lub walcowych. Dlaczego?
Uwaga.
Tylko zadania z gwiazdką wymagają znajomości trygonometrii.
Za to wiele zadań wymaga biegłego stosowania tw. Pitagorasa.
Najtrudniej steruje się podnośnikiem (drabiną). Na końcu ramienia podnośnika, o zmiennej długości R , zamontowany jest kosz V . Operator może obracać całe ramię względem pionu - ustawia kąt
.
Może też podnosić i opuszczać ramię, zmieniając kąt
.
W praktyce kąt
jest zazwyczaj nie większy od 90o . Kąty większe od 90o stosuje się rzadko, na przykład przy opuszczaniu ramienia do głębokiego wykopu.
Oprócz współrzędnych kartezjańskich (x, y, z ), w użyciu są nowe współrzędne, które będziemy notować w podwójnych nawiasach kwadratowych [[R ,
,
]].
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać wszystkie wypełnione punkty.
Dla punktu P = (0, 3,5, 3,5) nowe współrzędne są równe:
P = 90o ,
P = 45o ,
RP = 3,5 . ,
czyli
P = (0, 3,5, 3,5) = [[
3,5 . ,
90o , 45o ]] .
Dla wielu punktów wyznaczenie dokładnych wartości nowych współrzędnych jest niemożliwe bez tablic wartości funkcji trygonometrycznych. Czasami można je wyznaczyć w sposób przybliżony, np.: dla punktu Q = (2,5, 2,5, 3,5) mamy
Q = 45o .
Dokładnie można też wyznaczyć
RQ = (
(2,5 . ) 2
+ 3,5 2 ) = 1/2 . 99
5.
Ponieważ 'cień' kosza V jest w odległości 2,5 .
3,5 od początku układu współrzędnych, więc
Q
45o
(dlaczego?). Zatem
Q = (2,5, 2,5, 3,5) [[
5,
45o , 45o ]] .
Rysunek do Zadania P.1.
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać wszystkie wypełnione punkty.
Z ADANIE P.1.
Wstaw jeden ze znaków ' < ', ' = ', ' > ' pomiędzy wielkości:
a)
A
......
B
B
......
C
C
......
D
D
......
A
B
......
D
A
......
C
A'
......
C
B'
......
D
A'
......
C'
b)
R A
......
R B
R B
......
R C
R C
......
R D
R D
......
R A
R B
......
R D
R A
......
R C
R A'
......
R C
R B'
......
R D
R A'
...... R C'
c) Dla których punktów spośród: A, B, C, D, A', B', C', D', można wyznaczyć dokładne wartości nowych współrzędnych?
Z ADANIE P.2.
Wiedząc, że P = (4, 2, 3) ma nowe współrzędne równe (około) [[5,4, 26o , 56o ]],
wyznacz nowe współrzędne podanych punktów:
A = (-2, 1, 1,5),
B = (-2, -1, 1,5),
C = (2, -4, 3),
D = (2, 4, 3),
E = (1, 0,5, 0,75),
F = (0, -3, 3),
G = (-4, 2, -3),
H = (4, -2, -1,5),
I = (-6, 3, 4,5),
J = (0, 0, 3),
K = (0, 0, -3),
L = (0, -3, -3).
Rysunek do Zadania P.2 i P.3.
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać wszystkie wypełnione punkty.
Z ADANIE P.3.
Wyznacz przybliżone wartości nowych współrzędnych punktów: A, B, C, D, A', B', C', D', pokazanych na rysunku.
Z ADANIE P.4*.
Wyznacz stare (kartezjańskie) współrzędne punktów, których nowe współrzędne są równe:
a)
A = [[3, 60o , 90o ]], B = [[4, 90o ,
30o ]],
C = [[4, 60o , 30o ]],
D = [[1, 120o , 90o ]],
E = [[1, 135o , 60o ]],
F = [[4, 315o , 60o ]],
G = [[3, 225o , 60o ]], H = [[3,
300o , 30o ]],
b)
I = [[1, 60o , 120o ]],
J = [[3, 30o , 135o ]],
K = [[2, 30o , 150o ]], L = [[4, 210o ,
180o ]],
M = [[3, -60o , 90o ]],
N = [[3, 300o , 90o ]],
P = [[2, 300o , 0o ]],
Q = [[-4, -30o , -30o ]].
Z ADANIE P.5.
Podaj po trzy punkty, których nowe współrzędne
[[R,
,
]]
spełniają podane warunki.
Jak nazywają się zbiory wszystkich punktów, spełniających podane warunki?
a) R = 2,
=
30o ,
b) R = 3, 45o
225o ,
=
60o ,
c) R
3,
=
60o , 45o
135o ,
d) 1
R 3,
=
60o ,
=
30o ,
e) R
3,
=
45o ,
f) R = 3, 90o
180o ,
g) R
3,
h)
90o ,
i*) R = 2 / cos
,
= 60o ,
j*) R = 4 / cos
,
0o
60o ,
k*) R = 4 / sin
.
Z ADANIE P.6.
W fachowej literaturze te nowe współrzędne noszą nazwę współrzędnych sferycznych. Dlaczego?