Matematyczne portrety

Można przyjąć, że każda krzywa wykreślona na płaszczyźnie jest torem ruchu punktu. Czasem jednak równania kartezjańskie tych torów są skomplikowane i wtedy wygodniej jest opisać osobno ruch punktu wzdłuż osi poziomej i pionowej, a następnie te ruchy złożyć, otrzymując ruch wypadkowy po krzywej. Do tego celu służą równania parametryczne. Mają taką postać:

x(t) = pewna funkcja zmiennej t
y(t) = inna funkcja zmiennej t

Parametr t można utożsamiać z czasem. Dla ustalonej wartości t liczby x(t) i y (t) podają współrzędne (x, y) w układzie kartezjańskim, gdzie w chwili t znajduje się poruszający się punkt.

Za pomocą takich równań można opisywać naprawdę skomplikowane ruchy i tworzyć tory, które do złudzenia przypominają np. portret wybranej osoby. Nie wierzycie? To zobaczcie.

Zacznijmy od prostych przykładów, żeby sprawdzić, jak to działa.

Ćwiczenie 1. Wykonaj na komputerze lub kalkulatorze graficznym poniższe wykresy. Zastanów się jak dobrać zakres ekranu i parametru t, aby linia była dobrze widoczna. Zmieniaj parametry liczbowe, aby przekonać się, jak wpływają na kształt linii.

parabola

x(t) = t
y(t) = t²

Stąd można wyliczyć zależność między x i y, przekonując się, że torem ruchu punktu jest rzeczywiście parabola, bowiem y = x².

Równie łatwo można opisać parabolę po obrocie o 90° lub przesuniętą o wektor [2, 3]:

x(t) = t2 y(t) = t2

x(t) = t+2 y(t) = t2+3

okrąg

x(t) = sin(t)
y(t) = cos(t)

Stąd można wyliczyć zależność między x i y, przekonując się, że torem ruchu punktu jest okrąg jednostkowy, bowiem x² + y² = sin²(t)+cos²(t) = 1.

A jak zapisać okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 2? A jak okrąg jednostkowy o środku w punkcie (2, 3)? 

elipsa

x(t) = 2sin(t)
y(t) = 3cos(t)

Stąd można wyliczyć zależność między x i y, przekonując się, że torem ruchu punktu jest rzeczysiście elipsa o półosiech długości 2 i 3, mamy bowiem x²/4 + y²/9 = sin²(t)+cos²(t) = 1, co jest równaniem kartezjańskim elipsy.

figury Lissajoux

x(t) = 2sin(2t)
y(t) = 3cos(3t)

Jest to znany z fizyki efekt składania drgań w prostopadłych kierunkach o różnych amplitudach (w tym przypadku [-2, 2] na osi OX oraz [-3, 3] na osi OY) i o różnych częstotliwościach (w tym przypadku stosunek częstości dgrań w kierunku OX i OY wynosi 2:3).  

złożenie ruchu po dwóch okręgach

x(t) = 10sin(t) + 2sin(10t)
y(t) = 10cos(t)+ 2cos(10t)

Jest to złożenie ruchów wirowych po dwóch okręgach - dużym i małym (o promieniu 10 z częstością 1 i o promieniu 2 z częstością 10). Podobną krzywą zakreślą punkt na powierzchni Ziemi w rychu dookoła Słońca (duży okrąg, długi okres obiegu) i wokół środka Ziemi (mały okrąg, mały okres obiegu). 

Ćwiczenie 2. Eksperymentuj dalej, aby otrzymać jeszcze inne linie zadane parametrycznie.

Poniżej zamieszczamy jeszcze kilka przykładów ciekawych krzywych opisanych równaniami parametrycznymi.

cykloida

x(t) = 2(t-sint)
y(t) = 2(1-cost)

strofoida

x(t) = 4t²/(1+t²)
y(t) = 2t(t²-1)/(1+t²)

liść Kartezjusza

x(t) = 3t/(1+t³)
y(t) = 3t²/(1+t³)

A teraz zobaczcie, co udało się "narysować" używając równań parametrycznych. Czy rozpoznajecie te twarze?
Przykłady zaczerpnięto z portalu WolframAlpha, gdzie można ich znaleźć znacznie więcej.

Ćwiczenie 3. Jeśli nie wszystkie portrety udało wam się rozpoznać, spróbujcie dopasować odpowiedzi podane w losowej kolejności: Marylin Monroe, Albert Einstein, Bob Marley, Amy Winehouse, Issac Newton, Chuck Norris, Adele, John Lennon, Steve Jobs.

Tego typu portrety nazywa się z angielskiego person curve (krzywa postaci). Przeanalizujmy sposób opisu takiej krzywej na przykładzie podobizny Michela Jacksona.

A oto wzór parametryczny opisujący ten portret (trzymajcie się mocno).

Przydatne oznaczenia:

• sgn(x) [czytaj: signum x] - oznacza funkcję 'znak' (przyjmuje wartość -1 dla x<0, 0 dla x=0 i 1 dla x>0)
• Θ(x) [czytaj: teta od x] - oznacza funkcję schodkową Heaviside'a (przyjmuje wartość 0 dla x<0, ¹/₂ dla x=0 i 1 dla x>0)

Ustalenie równań parametrycznych odpowiadających danemu portretowi wcale nie jest aż tak przerażające matematycznie, jak mogłoby się na pierwszy rzut oka wydawać, chociaż na pewno jest bardzo czasochłonne i nikt nie robi tego 'ręcznie' lecz za pomocą gotowych programów komputerowych. Zauważmy, że każde z równań jest sumą sinusów przemnożonych przez pewne funkcje schodkowe. To mnożenie ma charakter techniczny, zeruje funkcje poza ustalonymi przedziałami. Jeśli przedziały te są rozłączne, to fragmenty funkcji można dodawać bez szkody dla reszty wykresu (jeden fragment nie wpływa na inny, bo są wyzerowane poza 'swoimi' rozłącznymi przedziałami wartości parametru t). Zatem jeśli odrzucić funkcje schodkowe, we wzorze pozostają sumy sunusów. Dlaczego akurat sinusów?

Wiadomo, że dowolną krzywą (odpowiednio porządną) można dowolnie dokładnie aproksymować za pomocą samych sinusoid (taka aproksymacja nosi nazwę rozwinięcia w szereg Fouriera). Dzięki temu równaniem parametrycznym można aproksymować dowolną krzywą zamkniętą (także odpowiednio porządną). Wystarczy zatem na portrecie wyodrębnić poszczególne linie otwarte lub zamknięte, kształt każdej z nich aproksymować sinusoidami w przedziale dla t rosnącym skokowo co 2π, a na koniec takie równania dodać (przemnożone przez odpowiednie funkcje schodkowe, zerujące daną funkcję poza jednym przedziałem dla niej przewidzianym). I to już cała tajemnica.

Na poniższym portrecie Abrahama Lincolna wyodrębniono 56 krzywych. Każdą z nich opisano parametrycznie na jednym z rozłącznych przedziałów o długości 2π.

 Na przykład krzywa rysująca muszkę jest opisana na przedziale [8π, 10π] równaniem:

Pierwsze cztery linie to współrzędna x(t), kolejne cztery to y(t). Po dodaniu 56 podobnych składników otrzymamy person curve Lincolna.

Oczywiście za pomocą równań parametrycznych można "rysować' także inne obiekty, np. rośliny (plant curves), zwierzęta (animal curves).