Na kempingu

Cóż ciekawego dla matematyka można zobaczyć na wakacjach? Na przykład kolonię domków kempingowych na łące pod lasem. Przyjrzyjmy się im dokładniej.

Toż to graniastosłupy prawidłowe o podstawach trójkątnych. Bardzo oszczędnie zrobione, bo drzwi ledwie się mieszczą na ścianie frontowej. Wymiary domków są przedstawione na rysunku obok.
Domki mają z tyłu okna, ale zasłonięte, więc nie można zajrzeć do środka.Ciekawe, czy te domki są jedno-, czy dwuosobowe.

Problem A.   Czy w takim domku kempingowym mieszą się dwa łóżka? (Typowe łóżko ma szerokość s = 90 cm i długość 2 m.)

Uczymy matematyki w szkole w taki sposób, że po takiej opowieści większość uczniów nie daje się nabrać i wie, że chodzi tu o kolejne zadanie o trójkącie. Wiedzą, że spodziewamy się rozumowania podobnego do poniższego.

Rozumowanie 1.  
Trójkąt ADG jest połówką trójkąta równobocznego o wysokości DG, więc
              2AD ^. /2 = h ,
skąd
              AD = h / .
Zatem
              AB = a + 2AD = a + 2h / = 1 + 4 / .
Dalej za pomocą kalkulatora obliczamy:
              AB 1 + 4 / 1,73 3,30 > 2 ^. 0,90 = 1,8 ,
więc AB > 2s. W tym domku zmieszczą się dwa łóżka.

Jesteśmy skłonni zaakceptować takie rozwiązanie, choć zapewne bardziej ucieszy nas poniższe:

Rozumowanie 2.  
Trójkąt ADG jest połówką trójkąta równobocznego o wysokości DG, więc
              AD = AG / 2 .
Ponieważ przeciwprostokątna jest dłuższa od przyprostokątnych, więc
              AG > h = 2 .
Zatem
              AD = AG / 2 > h / 2 = 1 > 0,90 ,
więc w tym domku zmieszczą się dwa łóżka, co więcej odstęp między nimi jest większy od 1,2 m.

 
Kłopotliwe pytanie 1.
Dlaczego na matematyce śpimy na cienkich materacach, a nie na prawdziwych łóżkach?

Problem B.   Czy w takim domku kempingowym mieszą się dwa łóżka? (Typowe łóżko ma szerokość s = 90 cm, długość 2 m i wysokość w = 45 cm.)

Sprytne Rozumowanie 2. nie jest już teraz wystarczające. Za wzorowe jesteśmy skłonni uznać poniższe:

Rozumowanie 3.  
Trójkąt GFC ma wysokość równą  a ^. /2,
więc trójkąt HIC ma wysokość równą
              h - w + a ^. /2 .
Stąd bok HI trójkąta HIC ma długość
              ( h - w + a ^. /2 ) ^. 2/ .
Dalej za pomocą kalkulatora obliczamy:
              HI = (2 - 0,45 + 1 ^. /2) ^. 2/
                  2,78978583 > 2 ^. 0,90 = 1,8 ,
więc w tym domku zmieszczą się dwa łóżka.

 
Kłopotliwe pytanie 2.  
W ten sposób uczymy przyszłego stolarza, mechanika, inżyniera, ekonomistę. Co oni sobie o nas myślą? Co ważniejsze, co oni sobie myślą o matematyce?