Jak wygląda $\color{red} \sqrt{x^2-1}$ ?

Naszkicuj w 20 sekund wykres funkcji

.

Większość z nas, przyzwyczajona jest do zadań - pułapek, nie da się nabrać i zauważy problem dziedziny tej funkcji.
(Porównaj z tekstem 'Przychodzi funkcja do lekarza'.)
Oczywiście x²-1 nie może być mniejsze od 0, czyli liczby z przedziału (-1,1) nie należą do dziedziny.

Wzór funkcji f kojarzy nam się z funkcją $y = \sqrt{x}$ i wielu ... daje się na to nabrać.

Tak naprawdę funkcja f wygląda następująco (przy różnych zakresach na osiach):

To co widać, to widać (prawie) wykres funkcji y = | x | .

Można to też zobaczyć rachunkowo:

  $\color{blue}\sqrt{x^2-1} = \sqrt{x^2\cdot \left(1-\frac{1}{x^2}\right)} = |x|\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} .$

W ostatnim wyrażeniu dla dużych x pod pierwiastkiem jest prawie 1. Możemy więc zapisać:

  $\color{blue} f(x)=\sqrt{x^2-1} \approx |x|\cdot\sqrt{1} =|x| $     dla dużych x .

Podobnie można zapisać dla funkcji $\color{green} g(x) = \sqrt{x^2-17}$ :

  $\color{green} \sqrt{x^2-17} = \sqrt{x^2\cdot \left(1-\frac{17}{x^2}\right)} = |x|\cdot\sqrt{1-\frac{17}{x^2}} .$

W ostatnim wyrażeniu dla dużych x pod pierwiastkiem jest prawie 1. Możemy więc zapisać:

  $\color{green} g(x)=\sqrt{x^2-17} \approx |x|\cdot\sqrt{1} =|x| $     dla dużych x .

Podobnie można zapisać dla funkcji $\color{red} h(x) = \sqrt{x^2-x}$ :

  $\color{red}\sqrt{x^2-x}=\sqrt{x^2\cdot\left(1-\frac{1}{x}\right)}=|x|\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x}}.$

W ostatnim wyrażeniu dla dużych x pod pierwiastkiem jest prawie 1. Możemy więc zapisać:

  $\color{red} h(x)=\sqrt{x^2-x} \approx |x|\cdot\sqrt{1} = |x| $     dla dużych x .

Wydaje się, że wszystkie te funkcje wyglądają prawie tak, jak wartość bezwględna y = | x | . Jednak nie całkiem jest to prawdą!!! Nie ma błędu w powyższych rachunkach, jednak przybliżenia trzeba 'ostrożnie' interpretować. Wężyk $\approx$ bywa zdradliwy!
Oblicz na kalkulatorze.

  

Dla f i g faktycznie widać, że bardzo mało różnią się od funkcji y = |x|. Jednak dla h już tak nie jest. Liczby nie kłamią! Sprawdź jak jest dla innych argumentów, również ujemnych.
Widać, że $h(x) \approx |x-\frac{1}{2}|$ .

Spróbuj odgadnąć jak się zachowują poniższe funkcje (dla dużych x):

$y=\sqrt{x^2-4x},\;\;y=\sqrt{x^2-6x},\;\; y=\sqrt{x^2+5x}.$

Możesz użyć poniższego 'kalkulatora'.

 

Jak już mamy hipotezy, to można je zweryfikować rachunkiem podobnym do poniższego bazującym na wzorach skróconego mnożenia. Sprawdź, że zachodzą poszczególne równości i nierówności (dla dużych x):

$|x+\frac{5}{2}|-\sqrt{x^2+5x}= \sqrt{(x+\frac{5}{2})^2}-\sqrt{x^2+5x} = \frac{(x+\frac{5}{2})^2-(x^2+5x)}{\sqrt{(x+\frac{5}{2})^2}+\sqrt{x^2+5x}} \leq \frac{\frac{25}{4}}{|x+\frac{5}{2}|} \leq \frac{25}{4x} .$

 

To oznacza, że dla coraz większych x różnica między funkcjami $y=|x+\frac{5}{2}|$ i $y=\sqrt{x^2+5x}$ jest coraz mniejsza.