Objętości graniastosłupów ściętych

---

 

Graniastosłup prawidłowy, o podstawie będącej n-kątem foremnym A₁A₂...A_n, przecinamy płaszczyzną przechodzącą między podstawami. Otrzymujemy graniastosłup ścięty
(prawdę mówiąc dostajemy dwie bryły i obie są graniastosłupami ściętymi). Dla skupienia uwagi patrzmy tylko na dolną bryłę: A₁A₂...A_nA₁'A₂'...A_n'.)

 

 

Niech P oznacza pole podstawy A₁A₂...A_n i niech h_k = A_kA_k'.
Wtedy objętość V tej bryły jest równa

V  =  P ^{. 1}/_n (h₁ + h₂ + ... + h_n) .

Dla parzystych n dowód można po prostu zobaczyć (przestaw suwak <dowód> ).  

 

 

Uwaga 1. 
W tym dowodzie korzystaliśmy jedynie z tego, że punkt S jest środkiem symetrii podstawy.
Zatem wzór na objętość jest prawdziwy dla graniastosłupów ściętych o podstawach mających środek symetrii, czyli np. gdy podstawą jest równoległobok (rozważamy tu jedynie graniastosłupy proste - o ścianach bocznych prostopadłych do podstawy).

Dla n = 3 podajemy poniżej dwa dowody wzoru na objętość.

 

 

Uwaga 2. 
Drugi dowód (suwak <dowód> = 2) nie wymaga założenia, że w podstawie jest trójkąt równoboczny - podstawą może być dowolny trójkąt.

Uwaga 3. 
Rozumowanie w dowodzie pierwszym (suwak <dowód> = 1) o 'spadających patyczkach' można uściślić. Pisaliśmy na ten temat w artykułach: Symetryzacja Steinera, Symetryzacja na kratkach, Symetryzacja na gładko.

Uwaga 4. 
Pomysł z pierwszego dowodu (suwak <dowód> = 1) można uogólnić. Gdy podstawą jest n-kąt foremny (n dowolne - nieparzyste lub parzyste), budujemy nad nią nie trzy, a n brył.

Środek S n-kąta foremnego wyznacza podział podstawy na n trójkątów o równych polach. Te trójkąty wyznaczają podział graniastosłupa ściętego na n graniastosłupów ściętych o podstawach trójkątnych. Stosując dla nich wzór na objętość, dostaniemy wzór ogólny:

 

 

Uwaga 5.
Dowód powyższy jest niepełny - zawiera lukę. Brak w nim uzasadnienia równości

h_S = ¹/_n ^. (h₁ + h₂ + ... + h_n) . Dla parzystych n jest to niemal oczywiste. Dla n = 3 można to uzasadnić całkiem elementarnie. Tu pokażemy uzasadnienie wymagające rachunku wektorowego i nieco wyższej matematyki.

- Punkt S jest środkiem ciężkości wierzchołków podstawy, czyli

- Wybierzmy tak układ współrzędnych (na podstawie), tak by S = (0,0). Wtedy dla współrzędnych punktów A_k = (x_k,y_k) mamy:

- Równanie płaszczyzny tnącej jest postaci f(x,y) = ax + by + c.

- Reszty dowodzi poniższy rachunek:

 

Uwaga 6.
Wzór

V = P ^. h_S jest w pewnym sensie lepszy i to z trzech powodów:  

- jest wygodniejszy w stosowaniu - wystarczy zmierzyć jedną wielkość h_n, a nie n,

- natychmiast wynika z niego, że gdy będziemy kręcić graniastosłupem prawidłowym wzdłuż osi prostopadłej do podstawy i przechodzącej przez S, to płaszczyzna tnąca będzie wycinała różne graniastosłupy ścięte (o różnych h₁,...,h_n), ale o tej samej objętości V = P ^. h_S (zakręć bryłą na poniższym rysunku),

 

 

- dla dowolnego graniastosłupa ściętego wyciętego z graniastosłupa prostego (o dowolnej podstawie)

V = P ^. h_S , gdzie S oznacza środek ciężkości podstawy.
Podamy tu szkic uzasadnienia. Najpierw określimy nieprecyzyjnie pojęcie środka ciężkości figury płaskiej F (dla formalnej definicji potrzebne jest pojęcie całki).

- Podzielmy figurę F o polu P na 'małe' części o polach p₁, p₂,...,p_m i wybierzmy po jednym punkcie Z₁, Z₂,...,Z_m z każdej części.
Punkt S jest środkiem ciężkości figury F, gdy

- Wybierzmy tak układ współrzędnych (na podstawie), by środek ciężkości S = (0,0). Wtedy dla współrzędnych punktów Z_i = (x_i,y_i) mamy:

- Równanie płaszczyzny tnącej jest postaci f(x,y) = ax + by + c.

- Reszty dowodzi poniższy rachunek (formalnie potrzebny jest tu drobny rachunek całkowy):

 

Uwaga 7.
Równość:

V = P ^. h_S  =  P ^{. 1}/_n (h₁+h₁+...+h_n) zachodzi dla tych graniastosłupów ściętych, które w podstawie mają wielokąt, w którym środek ciężkości pełnego wielokąta pokrywa się ze środkiem ciężkości układu jego wierzchołków.

 

Na deser zobaczmy, że dla brył wyciętych z graniastosłupów prawidłowych (niekoniecznie wyciętych jedną płaszczyzną), zachodzi następujący wzór: