Omyłkowe przekształcenia - emsymetria

Data ostatniej modyfikacji:
2012-04-5

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Poziom edukacyjny:

gimnazjum

szkoła średnia z maturą

szkoła profilowana zawodowa

Dział matematyki:

funkcje

geometria syntetyczna

Wszystkie rysunki utworzono
za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać 'wypełnione' punkty.

Na lekcji pani podała, jak znaleźć konstrukcyjnie punkt P' stanowiący odbicie punktu P w prostej m:

- na m zaznaczamy punkt P_m leżący najbliżej P,
- rysujemy okrąg o środku P_m przechodzący przez P,
- P' jest punktem przecięcia okręgu z prostą PP_m (różnym od P).

Na rysunku można obejrzeć tę konstrukcję dla punktów P, Q i T.

Karol, jak to Karol, niby słuchał uważnie, jednak omyłkowo przyjął, że

m jest odcinkiem AB. Czyli zamiast w prostej, odbijał punkty w odcinku. I co mu wyszło? Zobaczmy.

Na rysunku można obejrzeć tę konstrukcję dla punktów P, Q i T.

Sprawdź, że wszystko się zgadza! Mamy bowiem:
- P_m jest punktem z m leżącym w najmniejszej odległości od punktu P,
- zaznaczony jest okrąg o środku P_m przechodzący przez P,
- P' jest punktem przecięcia okręgu z prostą PP_m (różnym od P).

Nazwijmy to przekształcenie emsymetrią, albo m-symetrią.
Zbadamy, jakie ma ono własności. W szczególności jak wyglądają obrazy odcinków i okręgów w m-symetrii.

Podstawowe własności m-symetrii zebrane są w poniższym zadaniu.

Wprowadźmy oznaczenia:

P' - obraz punktu P w m-symetrii,
P'' - obraz punktu P' w m-symetrii,
o(S, r) - okrąg o środku S i promieniu r,
a - prosta prostopadła do AB,
przechodzącą przez A,
b - prosta prostopadła do AB,
przechodzącą przez B.

Zadanie 1. Uzupełnij.

a) Jeśli P m, to P' = . . . . . ..

b) Jeśli P' = P, to P . . . . . ..

c) P' m wtedy i tylko wtedy, gdy P . . . . . ..

d) P'' = P' wtedy i tylko wtedy, gdy P . . . . . ..

e) P'' = P wtedy i tylko wtedy, gdy P . . . . . ..

f) Obrazem okręgu o(S, r) jest półokrąg wtedy i tylko wtedy, gdy S . . . . . . .

g) Obrazem o(S, r) jest okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy . . . . . ..

h) Gdy odcinek KL nie przecina ani . . . . . ., ani . . . . . ., jego obrazem jest odcinek.

i) Gdy KL || AB, to obraz KL jest . . . . . ..

j) Obraz odcinka KL jest odcinkiem wtedy i tylko wtedy, gdy . . . . . ..

Jeśli Karol mógł coś przekręcić, to my też. Przyjmijmy, że

m nie jest odcinkiem, lecz łamaną ABC. Jakie własności ma teraz m-symetria?
Jak wyglądają obrazy odcinków i okręgów? Zobacz.

Zauważ, że gdy przemieszczamy punkt P (albo Q lub T), jego obraz P' czasami gwałtownie zmienia pozycję, dokonuje 'skoku'.
Nie obserwujemy tego zjawiska, gdy P przesuwamy poza obszarem kąta (wypukłego) ABC. Może się wydawać, że 'skoki' punktu P' zachodzą w sytuacji, gdy P przechodzi w pobliżu dwusiecznej kąta ABC.
Powodem tych 'skoków' jest... dziedzina m-symetrii. Istnieją takie położenia punktu P, dla których są dwa najbliższe punkty P_m, tzn. na łamanej są dwa punkty w najmniejszej odległości od P. Wtedy określenie punktu P' nie jest jednoznaczne. Takie punkty P nie należą do dziedziny tego przekształcenia.

Dokładniej, gdy m jest łamaną ABC, to dziedziną m-symetrii są wszystkie punkty płaszczyzny z wyjątkiem punktów leżących na:
- fragmencie dwusiecznej kąta ABC,
- fragmencie (półprostej) symetralnej odcinka AC,
- fragmencie paraboli o ognisku O i kierownicy k.
Zobacz.

Zadanie 2. Niech m będzie łamaną ABC.
Gdy . . . . . . , to dziedziną m-symetrii jest płaszczyzna bez punktów dwusiecznej kąta ABC.

Ciekawie jest, gdy przyjmiemy, że

m jest łamaną zamkniętą ABCA. Jakie własności ma teraz m-symetria?
Jak wyglądają obrazy odcinków i okręgów? Zobacz.

Zadanie 3. Opisz dziedzinę m-symetrii, gdy m jest łamaną zamkniętą ABCA.

Gdy m jest brzegiem trójkąta równobocznego ABC, to obrazy okręgów, o środku O w środku trójkąta, przyjmują dość regularne kształty. Zobacz.

Zadanie 4. Poniżej widać obraz okręgu o(O, r), gdzie O jest środkiem trójkąta równobocznego ABC, o boku a = 4. Naszkicuj ten okrąg i wyznacz dokładną wartość r.

Niech m będzie brzegiem trójkąta równobocznego ABC o boku 4. Obrazy brzegów trójkątów równobocznych DEF o środku O w środku trójkąta ABC przyjmują dość regularne kształty. Zobacz.

Zadanie 5. Poniżej widać obraz brzegu trójkąta równobocznego o boku b, o środku O w środku trójkąta ABC (o boku a = 4). Naszkicuj brzeg tego trójkąta i wyznacz dokładną wartość b.