Omyłkowe przekształcenia - parsymetria

Data ostatniej modyfikacji:
2012-04-20
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria analityczna
Wszystkie rysunki utworzono
przy użyciu programu C.a.R.
Można przesuwać 'wypełnione' punkty.


 

Na lekcji pani podała, jak znaleźć punkt P',
odbicie punktu P w prostej m:

- na m zaznaczamy punkt Pm leżący najbliżej P,
- rysujemy okrąg o środku Pm przechodzący przez P,
- P' jest punktem przecięcia okręgu z prostą PPm (różnym od P).

Karol, jak to Karol, niby słuchał uważnie, jednak omyłkowo przyjął, że

m nie jest prostą lecz parabolą.
I co mu wyszło?
Przyjął, że m jest parabolą  y = x2  i  P(x, y).
Kłopotliwe okazało się wyznaczenie punktu Pm( xm, xm2 ) paraboli, leżącego najbliżej P.
Zobaczmy.

 

 

Łatwo można sprawdzić, że prosta y = 2xm (x - xm) + xm2 jest styczną do paraboli  
Zatem normalna do paraboli, tzn. prosta prostopadła do stycznej w punkcie styczności - ma równanie

y  =  - 1 / (2xm) (x - xm) + xm2.
Na tej prostej mają leżeć punkty P(x, y) i Pm.
Zatem, aby znaleźć Pm, wystarczy rozwiązać powyższe równanie o niewiadomej xm.
Niestety, jest ono równoważne równaniu trzeciego stopnia (z parametrami x, y):

(*)                                           xm3  +  ( 1/2 - y ) xm  -  x/2  =  0.

I tu jest kłopot. Jak to równanie rozwiązać?
Programy komputerowe podają rozwiązania dość przerażające, nie mieszczące się w jednej linii 
Pomijam analizę tych wzorów. Musicie mi uwierzyć, że na rysunkach dla punktu P najbliższy mu punkt Pm paraboli jest wyświetlany poprawnie.
Dalej już łatwo można wyznaczyć punkt P'.

 

Nazwijmy parsymetrią przekształcenie, które punktowi P przypisuje P' tak, jak opisano wyżej.
Jakie własności ma to przekształcenie?

Najpierw zobaczmy, jaka jest dziedzina tego przekształcenia i że z pewnymi punktami płaszczyzny jest kłopot, bo nie można jednoznacznie określić ich obrazów.

 

 

Niech s oznacza zbiór punktów osi OY postaci (0, y), gdzie y>1/2. Widać, że dla punktu Q leżącego na sdwa najbliższe punkty paraboli, więc nie można jednoznacznie określić obrazu Q'.
Zatem dziedziną parsymetrii jest płaszczyzna bez punktów z s.

Zobaczmy, jakie punkty płaszczyzny są obrazami, czyli jaki jest zbiór wartości parsymetrii.

Zacznijmy od spostrzeżenia, że punkty s są obrazami punktów leżących na linii y = x2 / 4 - 1/2  

 

 

Stąd mamy:
- wnętrze paraboli m (poza punktami z s) jest przekształcane na obszar pomiędzy m i zieloną linią,
- obszar pomiędzy m i zieloną linią jest przekształcany na wnętrze paraboli m.
Tu parsymetria bardzo przypomina zwykłą symetrię, tyle że względem 'wygiętej prostej' m.

Ale to nie jest jeszcze cały zbiór wartości parsymetrii. Trzeba zbadać, gdzie leżą obrazy punktów spoza wnętrza zielonej linii.
Zauważmy, że dla takich punktów, części półprostych PP' (normalnych) po przecięciu paraboli wznoszą się, nigdy nie leżą poniżej tajemniczej błękitnej linii b.

 

 

Trudno wyprowadza się równanie tej błękitnej linii b
     

Jeszcze trudniej sprawdzić, że punkty tej błękitnej linii b są obrazami w parsymetrii  

 

Podsumujmy: zbiorem wartości parsymetrii jest obszar wyznaczony przez zieloną i błękitną linię, zaznaczony na poniższym rysunku.
Uwaga. Łuki MZ' i NZ' zielonej linii nie należą do zbioru wartości, w przeciwieństwie do ich końców.

 


 

Na koniec obejrzyjmy jeszcze, jak dziwaczne mogą być obrazy odcinków i okręgów w parsymetrii.

 

 

 



 

Powrót na górę strony