Omyłkowe przekształcenia - parsymetria

Na lekcji pani podała, jak znaleźć punkt P',
odbicie punktu P w prostej m:

- na m zaznaczamy punkt P_m leżący najbliżej P,
- rysujemy okrąg o środku P_m przechodzący przez P,
- P' jest punktem przecięcia okręgu z prostą PP_m (różnym od P).

Karol, jak to Karol, niby słuchał uważnie, jednak omyłkowo przyjął, że

Łatwo można sprawdzić, że prosta y = 2x_m (x - x_m) + x_m² jest styczną do paraboli.
Mianowicie wystarczy zauważyć, że poniższy układ równań spełnia tylko jedna para liczb - współrzędne punktu P_m :
 
Zatem normalna do paraboli, tzn. prosta prostopadła do stycznej w punkcie styczności - ma równanie

(*)                                           x_m³  +  ( 1/2 - y ) x_m  -  x/2  =  0.

I tu jest kłopot. Jak to równanie rozwiązać?
Programy komputerowe podają rozwiązania dość przerażające, nie mieszczące się w jednej linii.
W dodatku są trzy pierwiastki:

i nie wiadomo, który z nich jest liczbą rzeczywistą (wszak pod pierwiastkami mogą zdarzyć się liczby ujemne! 
Pomijam analizę tych wzorów. Musicie mi uwierzyć, że na rysunkach dla punktu P najbliższy mu punkt P_m paraboli jest wyświetlany poprawnie.
Dalej już łatwo można wyznaczyć punkt P'.

Nazwijmy parsymetrią przekształcenie, które punktowi P przypisuje P' tak, jak opisano wyżej.
Jakie własności ma to przekształcenie?

Najpierw zobaczmy, jaka jest dziedzina tego przekształcenia i że z pewnymi punktami płaszczyzny jest kłopot, bo nie można jednoznacznie określić ich obrazów.

Niech s oznacza zbiór punktów osi OY postaci (0, y), gdzie y>1/2. Widać, że dla punktu Q leżącego na s są dwa najbliższe punkty paraboli, więc nie można jednoznacznie określić obrazu Q'.
Zatem dziedziną parsymetrii jest płaszczyzna bez punktów z s.

Zobaczmy, jakie punkty płaszczyzny są obrazami, czyli jaki jest zbiór wartości parsymetrii.

Zacznijmy od spostrzeżenia, że punkty s są obrazami punktów leżących na linii y = x² / 4 - 1/2 .
Sprawdź, że dla punktu T(x, x²/4 - 1/2) tej linii najbliższy punkt paraboli
ma współrzędne T_m(x/2, x²/4) (w (*) wstaw x²/4 - 1/2 w miejsce y i x/2 w miejsce x_m).
Sprawdź, że T_m jest środkiem odcinka T T ', gdzie T ' (0, x²/4 +1/2)
(oblicz średnie arytmetyczne pierwszych i drugich współrzędnych punktów T, T ').
Powyższe uzasadnia, że obrazy punktów zielonej linii leżą na linii s.  

Stąd mamy:
- wnętrze paraboli m (poza punktami z s) jest przekształcane na obszar pomiędzy m i zieloną linią,
- obszar pomiędzy m i zieloną linią jest przekształcany na wnętrze paraboli m.
Tu parsymetria bardzo przypomina zwykłą symetrię, tyle że względem 'wygiętej prostej' m.

Ale to nie jest jeszcze cały zbiór wartości parsymetrii. Trzeba zbadać, gdzie leżą obrazy punktów spoza wnętrza zielonej linii.
Zauważmy, że dla takich punktów, części półprostych PP' (normalnych) po przecięciu paraboli wznoszą się, nigdy nie leżą poniżej tajemniczej błękitnej linii b.

Trudno wyprowadza się równanie tej błękitnej linii b
   
Pomyślmy o punktach o pierwszej współrzędnej x, tj. o ustalonej prostej równoległej do osi OY. Normalne przecinają ją w punktach o drugiej współrzędnej równej:
                                      y  =  - 1 / (2x_m) (x - x_m) + x_m² .
Prawa strona ma wartość najmniejszą (przy ustalonej wartości x), gdy
   
(jest to miejsce zerowe pochodnej prawej strony, zmienną jest x_m).
Wstawiając tę wartość do równania normalnej y  =  - 1 / (2x_m) (x - x_m) + x_m², dostajemy równanie linii b.  

Jeszcze trudniej sprawdzić, że punkty tej błękitnej linii b są obrazami w parsymetrii .
Niech

Należy sprawdzić, wstawiając do równania (*), że P_m jest najbliższym P punktem paraboli m i że P_m jest środkiem odcinka PP'.
Szczegóły pomijamy.  

Podsumujmy: zbiorem wartości parsymetrii jest obszar wyznaczony przez zieloną i błękitną linię, zaznaczony na poniższym rysunku.
Uwaga. Łuki MZ' i NZ' zielonej linii nie należą do zbioru wartości, w przeciwieństwie do ich końców.

Na koniec obejrzyjmy jeszcze, jak dziwaczne mogą być obrazy odcinków i okręgów w parsymetrii.