Optymalne pudełko

Data ostatniej modyfikacji:
2013-12-30
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Dział matematyki: 
funkcje
precalculus
geometria przestrzenna

Jak zbudować optymalne pudełko?

 
Zapewne każdy nauczyciel i niejeden maturzysta kojarzy z tym pytaniem rysunek taki, jak obok i zadanie:

Zadanie 1.   Jakie wymiary ma pudełko o największej objętości, o podstawie kwadratowej, otwarte z góry, utworzone z kwadratu o boku a = 10 cm ?

Jak omówić to z uczniami?
Przyjrzyjmy się temu bliżej, omówimy różne sposoby prezentacji.

Gdy x oznacza długość boków usuwanych kwadratów, to jest to wysokość pudełka, a jego podstawa ma pole  (10 - 2x) 2. Zatem wystarczy zbadać funkcję   f (x)  =  (10 - 2x) 2 . x.
Może zamiast badać funkcję, wystarczy oglądnąć jej wykres?
(Wtedy będzie to dostępne nie tylko dla znających pochodne.)

 

To jest Aplet Java utworzony za pomocą GeoGebry z www.geogebra.org - wygląda na to, że nie został zainstalowany program Java, należy przejść do www.java.com
Rysunek dynamiczny utworzony przy użyciu programu Geogebra

 

Takie podejście ma wady:
  -   wykres f jest bardzo 'ciasny' (może lepiej użyć pomocniczej funkcji g?),
  -   to komputer (a nie uczeń) postawił kropkę, znalazł ekstremum funkcji,
  -   trudne jest ułożenie wzoru funkcji, co zostału tu zignorowane,
  -   i jeszcze drobiazgi: dlaczego takie oznaczenia, dlaczego f, a nie V, dlaczego x, a nie h ?

 


 

Może zrobić rysunek w programie CaR?

 

Rysunek utworzono przy użyciu programu C.a.R..
Można przesuwać punkt P.

 

Zwykła kartka papieru i nożyczki dadzą lepszy efekt; można na oczach dzieci zaginać kartkę tak, by zobaczyli pudełko. (Bez nożyczek też można - można wydzierać narożniki.)

Jednak jest pewna korzyść z komputera, przesuwając P, widać wiele możliwych pudełek.
Przy jakim położeniu jest największa objętość? O, to jest pytanie (= zadanie).

Na szczęście w programie CaR można (na oczach widzów):
  -   zaznaczyć czworokąt podstawy i nazwać go podstawa ,
  -   zaznaczyć odcinek AP i nazwać go h ,
  -   wstawić wyrażenie arytmetyczne o nazwie V i określić jego wartość: podstawa * h
      (w CaRze nazwy są zarazem zmiennymi o wartościach: pole i długość).

 

Rysunek utworzono przy użyciu programu C.a.R..
Można przesuwać punkt P.

 

Przesuwając punkt P i oglądając V odnajdziemy (doświadczalnie) takie h, przy którym objętość V jest największa.

Tu jednak komputer też dużo zrobił sam, czy nie za wiele?

 


 

Może warto skorzystać z arkusza kalkulacyjnego takiego jak poniżej?
(Poniżej możesz zmieniać liczby w zielonych okienkach).

 

             a =        h0 =        h =

h a - 2*h (a - 2*h)^2 (a - 2*h)^2 * h

 

Aby arkusz zadziałał, należy go zaprojektować, czyli oprócz wymyślenia formuł takich, jak w nagłówkach kolumn, trzeba jeszcze je przełożyć na język arkusza. Zatem wysiłek idzie 'w klawisze'.

A przecież, by wypełnić taką tabelę, nie jest potrzebny komputer.
Wystarczy na tablicy zacząć wypełniać tabelę taką, jak poniżej.
Nie zaczynałbym od h = 0, nie ma potrzeby nad tym się rozwodzić.
Warto obgadać zera pojawiające się dla h = 5.
(Bez mówienia o dziedzinie funkcji! Nie jest konieczne używanie słowa 'funkcja'.)
Dalej planujemy zagęszczanie, czyli wartości h dla dalszych wierszy
(i wtedy jest miejsce na kalkulator).

 

h bok podst. pole podst. pole podst. * h
1   
2   
3   
4   
5   
 
1,2   
1,4   
1,6   
1,8   
O! Już opada! Zatem zagęszczamy:
1,62   
1,64   
1,66   
1,68   
1,70   
Dalej już chyba każdy zgadnie,
ale jeszcze warto sprawdzić:
1,665   
1,666   
1,667   
1,668   

 

Liczby 'krzyczą' - każdy odgadnie, że newralgiczne h jest równe 1,666... = 5/3.
Dla tego h objętość jest największa, wynosi 74,074... [Czyżby 74,(074)? Jak to sprawdzić?]

Ostatni sposób pokazuje tak konkretnie, jak to tylko możliwe, o co chodzi w zagadnieniu minimaksowym. Wypełnianie tabeli, to nie tylko rachunki; na podstawie wyników z czwartej kolumny (objętości) projektujemy następne wartości h do testowania. Wydaje się, że nie można uczyć 'badania funkcji', jeśli wcześniej nie nauczymy takiego eksperymentowania.

 



 

Znajomy, pan M. (z wykształcenia matematyk, jest przedsiębiorcą, ma zakład produkujący doniczki - otwarte z góry!) po przeczytaniu powyższego powiedział mniej więcej tak:

Wy, w tej szkole (podstawowej, średniej i co gorsza w wyższej), zamiast matematyką ciągle zajmujecie się jakimiś dziwactwami. Zamiast problemem zajmujecie się na przykład ułamkami. Was interesuje 74,(074); to prawie numerologia.

Dla mnie kształt materiału, z którego robię doniczki, nie ma znaczenia, bo najpierw go mielę, potem topię i wtryskuję do formy. Zatem zadanie 1. można rozumieć też tak:

Zadanie 2.   Jakie wymiary ma pudełko o największej objętości, o podstawie kwadratowej, otwarte z góry, o polu powierzchni 102 cm2 ?

(W co drugim programie komputerowym jest dostępne narzędzie pozwalające znaleźć p i h takie, że p2 . h jest największe, przy warunku p2 + 4ph = 102.
Odpowiedź: p = 10/3 i h = 5/3 i tak muszę przetłumaczyć na liczby dziesiętne!)

Ponadto, zadanie 1 i 2 są tylko pewnymi sposobami sprecyzowania problemu postawionego na samym początku:

Jak zbudować optymalne pudełko?

Dla mnie, na co dzień, nie tak ważne są centymetry, kilogramy, najważniejszą jednostką jest... talar. Słowo 'optymalne' rozumiem zwykle jako 'najtańsze'.

Zmarnujcie raz na miesiąc, no może raz na dwa miesiące, jedną lekcję nie na rozwiązywanie zadań, a na układanie zadań. Niech twoi uczniowie spróbują na przykład sprecyzować powyższe pytanie. Nie rozwiązywać, tylko sformułować zadania, nie jedno, a wiele. Wystarczy zacząć; pierwsze zadania mogą być niedopracowane - czy uczniowie to odkryją?

Zadanie 3.   Jakie wymiary ma najtańsze otwarte z góry pudełko, o pozłacanej kwadratowej podstawie, o posrebrzanych ściankach bocznych, gdy koszt jednostkowy pozłacania jest równy 5 talarów, a posrebrzania - 3,4 talara?

Zadanie 4.   Jakie wymiary ma najtańsze otwarte z góry pudełko, o kwadratowej podstawie, gdy koszt jednostkowy materiału jest równy 3 talary, a koszt jednostkowy lutowania krawędzi - 1,2 talara?

Zadanie 5.   Jakie...

 



 

Powrót na górę strony