Parabole kolędnika

O tym, jak wymodelować ogon gwiazdy, pisaliśmy już w artykule Problem kolędnika. Tam tworzyły go łuki okręgów. Można jednak myśleć, że ogon ten tworzą fragmenty łuków z pewnej kolekcji 'jednakowych' parabol. Przy czym słowo 'jednakowych' można rozumieć rozmaicie. Poniżej omówimy kilka sposobów sprecyzowania tego słowa, podając kilka kolekcji 'jednakowych' parabol.

Na poniższym rysunku widać fragmenty parabol łączących punkt G (0,4) z punktami odcinka MN, gdzie M (2,0), N (4,0). Mają one wspólną własność - wszystkie mają wierzchołek w G. Jak takie parabole opisać wzorami?

 

Sposób 0  

Sprawdź, że  f_M (x) = 4 – x ²,  f_N (x) = 4 – ¹/₄ · x ²  są 'dobre', tzn. ich wykresy przechodzą przez punkty M i N.
Nietrudno zgadnąć, że wzór

 f_k (x) = 4 + k · x²,    -1 ≤ k ≤ -¹/₄ opisuje wszystkie parabole o wierzchołku w G przechodzące przez punkty odcinka MN.

 

 

Parabole o wierzchołku G (1,3) mają postać:  f_k (x) = 3 + k · (x – 1) ². Które z nich przechodzą przez punkty odcinka MN, gdzie M (2,0), N (4,2)? Te, które spełniają dodatkowo nierówności:
 f_k (2) ≥ 0   i   f_k (4) ≤ 2,  ,czyli   3 + k · (2 – 1) ² ≥ 0   i   3 + k · (4 – 1) ² ≤ 2.
Zatem wzór

 f_k (x) = 3 + k · (x – 1) ²,    -3 ≤ k ≤ -¹/₉ opisuje wszystkie parabole o wierzchołku G(1,3), przechodzące przez odcinek MN = (2,0)(4,2).

 

ZADANIE 1
Podaj opis wszystkich parabol o wierzchołku G, które przechodzą przez punkty odcinka MN, gdy:

  a)   G (0, 3),  M (1, 0),  N (3, 0),                         b)   G (5, 4),  M (1, 0),  N (2, 0),

  c)   G (5, 4),  M (0, 2),  N (0, 0),                         d)   G (5, 4),  M (0, 2),  N (2, 0),

  e)   G (5, 4),  M (0, 5),  N (1, 3),                         f)   G (2, 3),  M (-1, 1),  N (0, 6).

 

---

 

Sposób a  

Poniżej widać parabole przechodzące przez punkt G i przez punkty odcinka MN mające ten sam współczynnik a w równaniu ogólnym paraboli:

 f_a (x) = a · x ² + b · x + c. Jak wyznaczyć pełny opis tych linii?

 

 

Zobaczmy to na przykładzie G (5, 4) i M (1, 2), N (3, 0).
Ustalmy wartość a i punkt U odcinka MN. Ma on współrzędne U (u, 3–u), gdzie 1 ≤ u ≤ 3 (dlaczego?). Parabola przechodzi przez G i U, gdy spełniony jest układ równań:

 f_a ( 5 ) = 4 ,   f_a ( u ) = 3–u, czyli a · 5 ² + b · 5 + c = 4, 
a · u ² + b · u + c = 3–u. Rozwiązując ten układ ze względu na niewiadome b, c, otrzymujemy

skąd dostajemy równanie paraboli przechodzącej przez G i U o zadanej wartości a:

Wszystkie parabole o zadanej wartości a, przechodzące przez G i punkt odcinka MN mają postać

 

ZADANIE 2  
Podaj opis wszystkich parabol o zadanej wartości a, które przechodzą przez G i punkty odcinka MN, gdy:

  a)   G (0, 3),  M (1, 0),  N (3, 0),                         b)   G (5, 4),  M (1, 0),  N (2, 0),

  c)   G (5, 4),  M (0, 2),  N (0, 0),                         d)   G (5, 4),  M (0, 2),  N (2, 0),

  e)   G (5, 4),  M (0, 5),  N (1, 3),                         f)   G (2, 3),  M (-1, 1),  N (0, 6).

 

---

 

Sposób b  

Poniżej widać parabole przechodzące przez punkt G i przez punkty odcinka MN oraz mające ten sam współczynnik b w równaniu ogólnym paraboli:

 f_a (x) = a · x ² + b · x + c. Jak wyznaczyć pełny opis tych linii?

 

 

ZADANIE 3  
Podaj opis wszystkich parabol o zadanej wartości b, które przechodzą przez G i punkty odcinka MN, gdy:

  a)   G (0, 3),  M (1, 0),  N (3, 0),                         b)   G (5, 4),  M (1, 0),  N (2, 0),

  c)   G (5, 4),  M (0, 2),  N (0, 0),                         d)   G (5, 4),  M (0, 2),  N (2, 0),

  e)   G (5, 4),  M (0, 5),  N (1, 3),                         f)   G (2, 3),  M (-1, 1),  N (0, 6).

 

---

 

Sposób c  

Poniżej widać parabole przechodzące przez punkt G i przez punkty odcinka MN oraz mające ten sam współczynnik c w równaniu ogólnym paraboli:

 f_a (x) = a · x ² + b · x + c. Jak wyznaczyć pełny opis tych linii?

 

 

ZADANIE 4  
Podaj opis wszystkich parabol o zadanej wartości c, które przechodzą przez G i punkty odcinka MN, gdy:

  a)   G (0, 3),  M (1, 0),  N (3, 0),                         b)   G (5, 4),  M (1, 0),  N (2, 0),

  c)   G (5, 4),  M (0, 2),  N (0, 0),                         d)   G (5, 4),  M (0, 2),  N (2, 0),

  e)   G (5, 4),  M (0, 5),  N (1, 3),                         f)   G (2, 3),  M (-1, 1),  N (0, 6).

 

---

 

Sposób p  

Byc może wygodniej jest rozważać inną postać równań parabol, kodującą przechodzenie przez punkt G (g_x, g_y), o współczynnikach p, q:

 f (x) = p · (x – g_x) ² + q · (x – g_x) + g_y. Poniżej widać parabole przechodzące przez punkt G i przez punkty odcinka MN oraz mające ten sam współczynnik p w takim równaniu paraboli.
Jak wyznaczyć pełny opis tych linii?

 

 

ZADANIE 5  
Sprawdź, że parabole o zadanej wartości p, przechodzące przez G i punkty odcinka MN tworzą kolekcję identyczną z jedną z wcześniej rozważaną.

 

---

 

Sposób q  

Dalej rozważamy tę samą postać równań parabol przechodzących przez punkt G (g_x, g_y), o współczynnikach p, q:

 f (x) = p · (x – g_x) ² + q · (x – g_x) + g_y. Poniżej widać parabole przechodzące przez punkt G i przez punkty odcinka MN oraz mające ten sam współczynnik q w takim równaniu paraboli.
Jak wyznaczyć pełny opis tych linii?

 

 

ZADANIE 6  
Czy parabole o zadanej wartości q, przechodzące przez G i punkty odcinka MN tworzą kolekcję identyczną z jedną z wcześniej rozważanych?

 

---

 

Wymyśl własną kolekcję 'jednakowych' parabol przechodzących przez G i punkty odcinka MN.

 

 

 

---