- STRONA GŁÓWNA
- MAPA PORTALU
- KALENDARZ
- O PORTALU
- WYKRESownik Edytor wzorów TeXa
więcej informacji o tekście: |
Krzysztof Omiljanowski
O tym, jak wymodelować ogon gwiazdy, pisaliśmy już w artykule Problem kolędnika. Tam tworzyły go łuki okręgów. Można jednak myśleć, że ogon ten tworzą fragmenty łuków z pewnej kolekcji 'jednakowych' parabol. Przy czym słowo 'jednakowych' można rozumieć rozmaicie. Poniżej omówimy kilka sposobów sprecyzowania tego słowa, podając kilka kolekcji 'jednakowych' parabol.
Na poniższym rysunku widać fragmenty parabol łączących punkt G (0,4) z punktami odcinka MN, gdzie M (2,0), N (4,0). Mają one wspólną własność - wszystkie mają wierzchołek w G. Jak takie parabole opisać wzorami?
Sposób 0
Sprawdź, że
fM (x) = 4 – x 2,
fN (x) = 4 – 1/4 · x 2
są 'dobre', tzn. ich wykresy przechodzą przez punkty M i N.
Nietrudno zgadnąć, że wzór
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Parabole o wierzchołku G (1,3) mają postać:
fk (x) = 3 + k · (x – 1) 2. Które z nich przechodzą przez punkty odcinka MN, gdzie M (2,0), N (4,2)?
Te, które spełniają dodatkowo nierówności:
fk (2) ≥ 0 i fk (4) ≤ 2,
,czyli
3 + k · (2 – 1) 2
≥ 0 i
3 + k · (4 – 1) 2 ≤ 2.
Zatem wzór
ZADANIE 1
Podaj opis wszystkich parabol o wierzchołku G, które przechodzą przez punkty odcinka MN, gdy:
a) G (0, 3), M (1, 0), N (3, 0), b) G (5, 4), M (1, 0), N (2, 0),
c) G (5, 4), M (0, 2), N (0, 0), d) G (5, 4), M (0, 2), N (2, 0),
e) G (5, 4), M (0, 5), N (1, 3), f) G (2, 3), M (-1, 1), N (0, 6).
Sposób a
Poniżej widać parabole przechodzące przez punkt G i przez punkty odcinka MN mające ten sam współczynnik a w równaniu ogólnym paraboli:
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Zobaczmy to na przykładzie G (5, 4) i M (1, 2), N (3, 0).
Ustalmy wartość a i punkt U odcinka MN.
Ma on współrzędne U (u, 3–u),
gdzie 1 ≤ u ≤ 3 (dlaczego?).
Parabola przechodzi przez G i U, gdy spełniony jest układ równań:
a · u 2 + b · u + c = 3–u.
skąd dostajemy równanie paraboli przechodzącej przez G i U o zadanej wartości a:
Wszystkie parabole o zadanej wartości a, przechodzące przez G i punkt odcinka MN mają postać
ZADANIE 2
Podaj opis wszystkich parabol o zadanej wartości a,
które przechodzą przez G i punkty odcinka MN, gdy:
a) G (0, 3), M (1, 0), N (3, 0), b) G (5, 4), M (1, 0), N (2, 0),
c) G (5, 4), M (0, 2), N (0, 0), d) G (5, 4), M (0, 2), N (2, 0),
e) G (5, 4), M (0, 5), N (1, 3), f) G (2, 3), M (-1, 1), N (0, 6).
Sposób b
Poniżej widać parabole przechodzące przez punkt G i przez punkty odcinka MN oraz mające ten sam współczynnik b w równaniu ogólnym paraboli:
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
ZADANIE 3
Podaj opis wszystkich parabol o zadanej wartości b,
które przechodzą przez G i punkty odcinka MN, gdy:
a) G (0, 3), M (1, 0), N (3, 0), b) G (5, 4), M (1, 0), N (2, 0),
c) G (5, 4), M (0, 2), N (0, 0), d) G (5, 4), M (0, 2), N (2, 0),
e) G (5, 4), M (0, 5), N (1, 3), f) G (2, 3), M (-1, 1), N (0, 6).
Sposób c
Poniżej widać parabole przechodzące przez punkt G i przez punkty odcinka MN oraz mające ten sam współczynnik c w równaniu ogólnym paraboli:
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
ZADANIE 4
Podaj opis wszystkich parabol o zadanej wartości c,
które przechodzą przez G i punkty odcinka MN, gdy:
a) G (0, 3), M (1, 0), N (3, 0), b) G (5, 4), M (1, 0), N (2, 0),
c) G (5, 4), M (0, 2), N (0, 0), d) G (5, 4), M (0, 2), N (2, 0),
e) G (5, 4), M (0, 5), N (1, 3), f) G (2, 3), M (-1, 1), N (0, 6).
Sposób p
Byc może wygodniej jest rozważać inną postać równań parabol, kodującą przechodzenie przez punkt G (gx, gy), o współczynnikach p, q:
Jak wyznaczyć pełny opis tych linii?
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
ZADANIE 5
Sprawdź, że parabole o zadanej wartości p,
przechodzące przez G i punkty odcinka MN tworzą kolekcję identyczną z jedną z wcześniej rozważaną.
Sposób q
Dalej rozważamy tę samą postać równań parabol przechodzących przez punkt G (gx, gy), o współczynnikach p, q:
Jak wyznaczyć pełny opis tych linii?
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
ZADANIE 6
Czy parabole o zadanej wartości q, przechodzące przez G i punkty odcinka MN tworzą kolekcję identyczną z jedną z wcześniej rozważanych?
Wymyśl własną kolekcję 'jednakowych' parabol przechodzących przez G i punkty odcinka MN.
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.