Pi kwadrat

Data ostatniej modyfikacji:
2011-01-19
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna

Czy znasz jakiś wzór, w którym występuje 2 ?
Jeśli nie, to zobacz.

 

Huśtawka (deska o długości d) kręci się wokół punktu G. Jak przemieszczają się jej końce?
To jasne - końce P i L kręcą się po okręgu o środku G i promieniu d/2.

 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

 

Gdy deska (o długości d) jest ustawiona na okręgu (beczce), to... zaczyna się zabawa!

Zakładamy, że deska nie ślizga się.
Gdy deska obróci się o kąt , tzn. = ZOG, gdzie Z oznacza punkt styczności, to Z jest odległy od środka deski o długość łuku GZ, czyli   PZ = d/2 · R   i   LZ = d/2 · R.

Po jakich liniach poruszają się końce P, L ?
Można zobaczyć, że nie po okręgu (przesuń suwak 'show').

 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

 

Przyjrzymy się dokładniej jednej z tych linii.
Pomyślmy o ruchu punktu P, gdy jako punkt początkowy obierzemy P0 - punkt 'maksymalnego wychylenia'. Wtedy punkt styczności Z pokrywa się z P0. Przesuwanie Z po okręgu będziemy mierzyć kątem = ZOP0. Odcinek ZP jest równy (aktualnej) długości łuku ZP0 okręgu. (Zapominamy o reszcie deski, o dalszej części huśtawki).
Punkt P zachowuje się tak, jak koniec nici odwijanej ze szpulki (czyli z okręgu),
zatacza pewną linię PP0.

 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

 

PROBLEM.    Dla zadanej wartości kąta :
    Jaka jest długość linii PP0?
    Jakie jest pole obszaru ograniczonego linią PP0, odcinkiem ZP i łukiem ZP0 okręgu?

 

Odpowiedź zobaczymy, zastępując łuk P0Z łamaną Z0Z1Z2...Zn, otrzymaną z podziału kąta na n równych części. Zamiast odwijać nić z łuku okręgu, odwijamy z nić z tej łamanej.
Oglądnij dokładnie poniższy rysunek.
Gdy n jest coraz większe, otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia linii PP0.

UWAGA 1. (tylko dla dorosłych) 

 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

 

Linię PP0 przybliża n łuków P0P1, P1P2,..., Pn–1Pn okręgów o środkach Z1, Z2,..., Zn i promieniach: 1 · |Z0Z1|, 2 · |Z0Z1|, ... , n · |Z0Z1|.
Sprawdź, że: Pk–1ZkPk = /n , dla k = 1, 2, ... , n–1, oraz  Pn–1ZnPn = 1/2 · /n.

Dalej wystarczy mały rachunek:

Podobnie można obliczyć pole (szczegóły pomijamy):

 

Gdy we wzorze na długość linii PP0 wstawimy R = 2 i = (kąt półpełny),
otrzymamy:

2 .

 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

 

 


 

 

Powrót na górę strony