Z pinezką - rzeczywistą i urojoną

Gdy wielokąt ABCD wycięty z kartonu przyszpilimy pinezką P, aż się prosi, by nim zakręcić. Co wtedy widać? Wiatraczek. Zmieni się nieco, gdy zmienimy punkt wbicia pinezki.

Można też wbić pinezkę POZA wielokątem. Jak? Wystarczy wyobrazić sobie, że wielokąt jest narysowany na przezroczystej folii. Wtedy zakręcimy całą folią wokół pinezki. Taką pinezkę nazwiemy urojoną, a gdy wbijać ją będziemy w punkty wielokąta, to nazwiemy ją rzeczywistą.

Pewne wyobrażenie o tym, jak to działa, daje poniższy dynamiczny rysunek. Zachęcam do eksperymentów.

UWAGA. Ten rysunek jest dynamiczny. Można przesuwać punkty zaznaczone pełnymi kwadracikami (chwytając je lewym przyciskiem myszy). Po chwili rysunek się zaktualizuje.

Nie będziemy interesować się całym wiatraczkiem, a jedynie dwoma charakterystycznymi okręgami. Na poniższym dynamicznym rysunku zaznaczono je na niebiesko i zielono. Nazwijmy je okręgiem wewnętrznym i okręgiem zewnętrznym. Ich promienie zależą od położenia pinezki P. Nazwijmy je:
   r_P - promień wewnętrzny,
   R_P - promień zewnętrzny.

Proponujemy kilka zadań:

ZADANIE 1.   Na rysunku pinezki są czerwone, a wielokąt - szary. Jednostką długości jest bok kratki. Uzupełnij:

a)   Pinezki urojone to:     .   .   .    .

b)   Pinezki rzeczywiste to:     .   .   .    .

c)   r_P =     .   .   .   ,   r_Q =     .   .   .   ,

      r_S =     .   .   .   ,   r_U =     .   .   .   .

d)   Czy   r_T = 1? Dlaczego?

e*)   Oblicz (z tw. Pitagorasa) promienie zewnętrzne: R_P, R_Q, R_S, R_T, R_U.

f)   Czy jest jakaś pinezka rzeczywista o promieniu wewnętrznym > 3? Dlaczego?

g)   Czy jest jakaś pinezka urojona o promieniu wewnętrznym > 3? Dlaczego?

ZADANIE 2.   Pomyślmy o pinezkach wbitych w prostokąt o wymiarach 8 × 12.

a)   Zaznacz wszystkie pinezki rzeczywiste, których promienie wewnętrzne są równe 1.

b)   Zaznacz wszystkie pinezki rzeczywiste, których promienie wewnętrzne są równe 2.

c)   Zaznacz wszystkie pinezki rzeczywiste, których promienie wewnętrzne są nie mniejsze niż 2. Co to za figura?

d)   Zaznacz wszystkie pinezki urojone, których promienie wewnętrzne są nie większe niż 2.

e)   Zaznacz wszystkie pinezki rzeczywiste, których promienie wewnętrzne są największe (dla tego prostokąta). Co to za figura?

f)   Zaznacz wszystkie pinezki, których promienie wewnętrzne są równe 0.

g)   Jaki jest najmniejszy promień zewnętrzny?

ZADANIE 3.   Pomyślmy o pinezce rzeczywistej P dla pewnego wielokąta w. Uzupełnij.

a)   Każde koło o środku P i promieniu nie większym niż     .   .   .    zawarte jest w w.

b)   Każde koło o środku P i promieniu nie mniejszym od     .   .   .    zawiera w.

c)   Każde koło o środku P, do którego należą punkty spoza w ma promień     .   .   .    .

d)   Odległość P od punktu spoza w jest     .   .   .    .

e)   Gdy odległość PX jest     .   .   .   , to punkt X należy do w.

ZADANIE 3'.   Ułóż (i rozwiąż) zadanie podobne do zadania 3. na temat pinezki urojonej.

ZADANIE 4.   Dla pinezki rzeczywistej P pewnego wielokąta w zachodzą nierówności:

r_P ²     Pole w     R_P ² .

ZADANIE 5.   Dla trójkąta największy promień wewnętrzny pinezek rzeczywistych jest równy promieniowi okręgu wpisanego w ten trójkąt. Uzasadnij, iż NIE JEST PRAWDĄ, że najmniejszy promień zewnętrzny pinezek jest równy promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dla jakich trójkątów jest to prawdą?

ZADANIE 6.   Dla prostokąta, który nie jest kwadratem, jest wiele pinezek rzeczywistych o największym możliwym promieniu wewnętrznym (równym połowie długości krótszego boku). Uzasadnij, iż NIE JEST PRAWDĄ, że jeśli w czworokącie jest dokładnie jedna pinezka rzeczywista o największym promieniu wewnętrznym, to jest to środek okręgu wpisanego w ten czworokąt.
Dla jakich czworokątów jest to prawdą?

ZADANIE 7*.   Czy istnieje wielokąt (albo inna figura płaska), dla którego są co najmniej dwie pinezki o najmniejszym możliwym promieniu zewnętrznym?