Piramidy $\textstyle\red\prod\nolimits_0$ w zadaniach

Data ostatniej modyfikacji:
2012-01-14
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria przestrzenna
Zanim przeczytasz ten tekst, zajrzyj do artykułu Piramidy dyskretne.


 



...

Powyżej widać trzy piramidy o tej samej prostokątnej podstawie 5×6. Są to:

1-piramida, 0,5- piramida i 0,25-piramida.

Można je także obejrzeć na rysunku obok, wybierając odpowiednią opcję.

Gdy pomyślimy o dalszych piramidach, tzn. zbudowanych z jeszcze drobniejszych klocków, w wyobraźni zobaczymy nową, graniczną piramidę, którą nazwiemy

0-piramidą.
Dalej będziemy się zajmowali tylko takimi granicznymi piramidami.

Umowa. W dalszym ciągu artykułu piramidy będziemy rysowali tylko z 'lotu ptaka', czyli tak, jak wyglądają z góry. Na rysunkach bok kratki ma długość 1 i w takich właśnie jednostkach będziemy podawali wszystkie wielkości.

 

Dla podstawy prostokątnej 6×10 otrzymamy 0-piramidę
- o wysokości 3,
- o 5 ścianach, 6 wierzchołkach i 9 krawędziach.

Narysuj jej 'cień WE' (przy oświetleniu z zachodu) i 'cień SN' (przy oświetleniu z południa).

Obliczmy objętość tej 0-piramidy. W tym celu:
- tniemy ją dwiema płaszczyznami prostopadłymi do podstawy, przechodzącymi przez górne wierzchołki,
- skrajne części zsuwamy, otrzymując 1/6 sześcianu o krawędzi 6,
- zauważamy, że środkowa część jest 1/4 prostopadłościanu 6×6×4.
Zatem objętość piramidy jest równa 36+36 = 72.

 

Jak wygląda 0-piramida o podstawie danej na rysunku?


Zobacz
Jej krawędzie (poza krawędziami podstawy) leżą nad punktami podstawy jednakowo odległymi od boków podstawy.
Zbadaj, jak spływają po tej piramidzie krople deszczu, gdy spadną w kilku przykładowych punktach. Którędy spływają do podstawy?

 

Każda 0-piramida wygląda jak dach, w każdym miejscu jednakowo stromy, nachylony do podstawy pod kątem 45 stopni.
Ta własność pozwoli nam zbadać 0-piramidy o podstawach nie będących wielokątami kratowymi.

 

Obserwacja
Trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest prostokątny.
Na rysunku obok widać, że punkt S jest jednakowo odległy od prostych OP i OQ. Nie tylko on. Przechodząc z niego w prawo o 3 i w górę o 1 dostaniemy inny taki punkt. Dlaczego?
W ten sposób można znaleźć całą kolekcję punktów jednakowo odległych od prostych OP i OQ.
Zaznacz kilka z nich.

 

Ćwiczenie
Znajdź w podobny sposób punkty jednakowo odległe
od prostych OP' i OQ'.
Zaznacz kilka z nich.

 

Na rysunku obok widać podstawę
0-piramidy.
Zaznaczone punkty leżą w jednakowej odległości od prostych AB i AD. Dlaczego?
Zaznacz wierzchołki i krawędzie tej piramidy.

 



 

Proponujemy rozwiązanie serii zadań o 0-piramidach. Pochodzą one z finału konkursu Koma.

 

Zadanie 1.    Jakie jest pole podstawy 0-piramidy o podstawie kwadratowej i podanej wysokości?

             a)  6                       b)  10                       c)  h

 

Zadanie 2. Jaka jest objętość 0-piramidy o podstawie prostokątnej o podanych wymiarach??

             a)  5×5                       b)  6×6                       c)  a×a

             d)  4×8                       e)  6×12                       f)  a×2a

 

Zadanie 3. Oblicz wysokość, objętość i pole powierzchni 0-piramidy o podstawie będącej:

             a)  trójkątem prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości 6,

             b)  pierścieniem (czyli różnicą dwóch współśrodkowych kół) o promieniach 3 i 9.

 

Zadanie 4. Zaznacz wierzchołki i krawędzie 0-piramid o podstawach przedstawionych na poniższych rysunkach.

        a)     

        b)     

        c)     

        d)     

        e)     

        f)     

 



 

Powrót na górę strony