|
Zanim przeczytasz ten tekst, zajrzyj do artykułu Piramidy dyskretne.
|
...
|
Powyżej widać trzy piramidy o tej samej prostokątnej podstawie 5×6. Są to:
1-piramida,
0,5- piramida
i 0,25-piramida.
Można je także obejrzeć na rysunku obok, wybierając odpowiednią opcję.
Gdy pomyślimy o dalszych piramidach, tzn. zbudowanych z jeszcze drobniejszych klocków, w wyobraźni zobaczymy nową, graniczną piramidę, którą nazwiemy
0-piramidą.Umowa. W dalszym ciągu artykułu piramidy będziemy rysowali tylko z 'lotu ptaka', czyli tak, jak wyglądają z góry. Na rysunkach bok kratki ma długość 1 i w takich właśnie jednostkach będziemy podawali wszystkie wielkości.
Dla podstawy prostokątnej 6×10 otrzymamy 0-piramidę
- o wysokości 3,
- o 5 ścianach, 6 wierzchołkach i 9 krawędziach.
Narysuj jej 'cień WE' (przy oświetleniu z zachodu) i 'cień SN' (przy oświetleniu z południa).
Obliczmy objętość tej 0-piramidy. W tym celu:
- tniemy ją dwiema płaszczyznami prostopadłymi do podstawy, przechodzącymi przez górne wierzchołki,
- skrajne części zsuwamy, otrzymując 1/6 sześcianu o krawędzi 6,
- zauważamy, że środkowa część jest 1/4 prostopadłościanu 6×6×4.
Zatem objętość piramidy jest równa 36+36 = 72.
Jak wygląda 0-piramida o podstawie danej na rysunku?
Zobacz
Jej krawędzie (poza krawędziami podstawy) leżą nad punktami podstawy jednakowo odległymi od boków podstawy.
Zbadaj, jak spływają po tej piramidzie krople deszczu, gdy spadną w kilku przykładowych punktach. Którędy spływają do podstawy?
Każda 0-piramida wygląda jak dach, w każdym miejscu jednakowo stromy, nachylony do podstawy pod kątem 45 stopni.
Ta własność pozwoli nam zbadać 0-piramidy
o podstawach nie będących wielokątami kratowymi.
Obserwacja
Trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest prostokątny.
Na rysunku obok widać, że punkt S jest jednakowo odległy od prostych OP i OQ.
Nie tylko on. Przechodząc z niego w prawo o 3 i w górę o 1 dostaniemy inny taki punkt. Dlaczego?
W ten sposób można znaleźć całą kolekcję punktów jednakowo odległych od prostych OP i OQ.
Zaznacz kilka z nich.
Ćwiczenie
Znajdź w podobny sposób punkty jednakowo odległe
od prostych OP' i OQ'.
Zaznacz kilka z nich.
Na rysunku obok widać podstawę
0-piramidy.
Zaznaczone punkty leżą w jednakowej odległości od prostych
AB i AD. Dlaczego?
Zaznacz wierzchołki i krawędzie tej piramidy.
Proponujemy rozwiązanie serii zadań o 0-piramidach. Pochodzą one z finału konkursu Koma.
Zadanie 1.
Jakie jest pole podstawy 0-piramidy o podstawie kwadratowej i podanej wysokości?
a) 6 b) 10 c) h
Zadanie 2.
Jaka jest objętość 0-piramidy o podstawie prostokątnej o podanych wymiarach??
a) 5×5 b) 6×6 c) a×a
d) 4×8 e) 6×12 f) a×2a
Zadanie 3.
Oblicz wysokość, objętość i pole powierzchni 0-piramidy o podstawie będącej:
a) trójkątem prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości 6,
b) pierścieniem (czyli różnicą dwóch współśrodkowych kół) o promieniach 3 i 9.
Zadanie 4.
Zaznacz wierzchołki i krawędzie 0-piramid o podstawach przedstawionych na poniższych rysunkach.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
