Poprawianie Archimedesa?

Tutaj wszystko kręcić się będzie wokół koła K.
Koło K, zawsze o promieniu 1, zawsze będzie żółte.
 
Archimedes obliczał wartość liczby , a raczej jej przybliżenia,
obliczając pola wielokątów wpisanych w K i opisanych na K.
Wpisywał i opisywał wielokąty foremne o coraz większej liczbie boków. Można o tym przeczytać m. in. w bardzo dobrej książce Marka Kordosa "Zobaczyć to, czego nie widać".

Oto dwa wielokąty foremne: wpisany w K i opisany na K, o tej samej liczbie boków.
Który z nich lepiej przybliża koło?
 
(Tu wielokąty są niebieskie i półprzezroczyste, dlatego części wspólne z kołem K są zielone.)

Pytanie: 'Który z nich lepiej przybliża koło?' nie jest precyzyjne, bo co to znaczy 'lepiej'?
Za lepsze przybliżenie można uważać to, w którym wielokąt leży bliżej koła.
Ale by stwierdzić, który z nich leży bliżej, należy zmierzyć odległość dwóch figur, całych figur, a nie tylko pewnych ich punktów.
 
Co to jest odległość dwóch figur?

Podamy tu pewien sposób mierzenia odległości figur
(choć od razu dodajmy, że nie jest to jedyny możliwy sposób).
Dla figur A i B tworzymy nową figurę złożoną z tych punktów tych figur, które należą do dokładnie jednej z tych figur. Tę nową figurę nazywa się różnicą symetryczną figur A i B. Oznacza się ją symbolem A B.

Definicja. Przez odległość figur A i B będziemy rozumieć pole ich różnicy symetrycznej, czyli

odległość(A, B) = pole( A B ) .

Uwaga. Tu jednostką odległości jest cm², centymetr kwadratowy - to dziwne, ale poprawne.

Uwaga. Ten sposób ma pewne wady, mierzy dobrze odległości tylko niektórych figur, np. według tego wzoru odległość koła K od wnętrza koła K jest równa 0. Jednak dla figur, które tu będziemy rozważać, sposób ten jest całkiem poprawny.

Ćwiczenie. Obliczmy odległości koła K od wielokąta W, gdy:
  -    W = trójkąt równoboczny wpisany w K ,
  -    W = trójkąt równoboczny opisany na K ,
  -    W = kwadrat wpisany w K ,
  -    W = kwadrat opisany na K ,
  -    W = sześciokąt foremny wpisany w K ,
  -    W = sześciokąt foremny opisany na K .

Popatrzmy na kwadraty. Bliżej koła K leży kwadrat opisany, jest w odległości 0,86 od K, a kwadrat wpisany - w odległości 1,14 od K.
Można rozważać nie tylko kwadraty wpisany i opisany. Jest jeszcze wiele innych kwadratów bliskich K. Zajmiemy się problemem:

Jaki kwadrat leży w najmniejszej odległości od koła K?
Dla jakiego kwadratu W najmniejsze jest pole(W K) ?

Zobaczmy przykłady kwadratów o środkach pokrywających się ze środkiem koła K.
Oznaczmy przez z połowę długości boku kwadratu (tak będzie wygodniej).

Wśród nich jest taki kwadrat, którego brzeg wyznacza na okręgu osiem punktów, będących wierzchołkami ośmiokąta foremnego.


Czy to jest szukany kwadrat leżący w najmniejszej odległości od K?

Kluczowy fragment rozumowania
Rozważmy kwadrat W_z, którego połowa podstawy jest równa z
i drugi kwadrat W_z+h, trochę od niego większy (którego połowa podstawy jest równa z+h).
Można myśleć, że kwadrat W_z 'puchnie' na grubość h. Oczywiście jego pole wtedy rośnie.
Ale jak się zmienia odległość od K? Czyli jaka jest różnica: pole(W_z+h K) - pole(W_z K) ?
Okazuje się, że to zależy od z. Zbadajmy jak jest dla 'małych' i 'dużych' z, jak na poniższych rysunkach.

'Spuchnięcie' jest zaznaczone dwoma kolorami: część wystająca poza K jest różowa,
a część zawarta w K - pomarańczowa.
Można powiedzieć, że część różową tworzy 8 prawie-prostokątów o szerokości h i długości q.
Część pomarańczową tworzy 8 prawie-prostokątów o szerokości h i długości p.
Część różowa powoduje wzrost odległości od K,
a część pomarańczowa powoduje zmniejszanie odległości od K.
Która z tych części przeważa?
Dla 'małych' z długość q jest mała, mniejsza od p, zatem maleje odległość od K.
Dla 'dużych' z, to jest dla takich, przy których q > p, odległość od K wzrasta.
 
Zatem odległość od K jest najmniejsza, gdy q = p. To jest warunek, jaki musi spełniać kwadrat W, leżący w najmniejszej odległości od K.
 
Nietrudno obliczyć, że ten najbliższy kwadrat ma bok długości 4/ i pole równe 3,2.
 
Pół jego obwodu jest zawarte w K, a drugie pół - wystaje poza K.
 
Łatwo też podać konstrukcję tego szczególnego kwadratu (spróbuj!).

Całkiem podobnie można wyznaczyć trójkąt równoboczny leżący najbliżej K. Jego bok ma długość 4 / . Jego konstrukcja też nie jest trudna.

Można uzasadnić (argumentując podobnie, jak przy kwadracie), że wśród wszystkich wielokątów foremnych o ustalonej liczbie boków najbliżej koła K leży taki, którego środek pokrywa się ze środkiem koła i pół jego obwodu jest zawarte w K, a drugie pół - wystaje poza K.

Kłopotliwe jest wyznaczenie tej najmniejszej odległości. Tu trzeba użyć wzorów trygonometrycznych.
 
Ogólnie: niech W_n oznacza n-kąt foremny najbliższy koła K. Wtedy:

Uwaga. Zmuszając komputer do obliczeń, można porównać te wielokąty foremne W_n z n-kątami  foremnymi opisanymi na K. Okazuje się, że 'przewaga' W_n nie jest zbyt duża, są o jakieś 30 % bliżej koła K niż wielokąty opisane.