KĄCIK NAUKOWY › Kółko matematyczne

Problem kolędnika

Data ostatniej modyfikacji:
2011-01-17
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
matematyka rozrywkowa
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

 

Jak wymodelować ogon gwiazdy?
Można po prostu wziąć linijkę i połączyć G z punktami (pewnego) odcinka AB.
Bardziej skomplikowane ogony zobaczysz, przesuwając suwak s i punkty A, B, G, U.
Są one modelowane tak, jak opisano w tekście Zaokrąglanie naroży.

Poniżej obejrzymy dokładniej najprostsze ogony, zbudowane tylko z łuków pewnych okręgów.

Sposób 1.  Łuk AG jest łukiem okręgu o środku w punkcie, będącym wierzchołkiem trójkąta równobocznego o boku AG.
Podobnie zbudowane są pozostałe łuki. To znaczy jak?

Zadanie 1. Na jakiej prostej leżą środki okręgów łuków ze sposobu 1?

 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

 

Drugi sposób budowania łuków ogona gwiazdy jest oparty na... kwadracie. Jak?

Trzeci sposób budowania łuków ogona gwiazdy jest oparty na... trójkącie równobocznym. Jak?

Zadanie 2.   Uzasadnij, że środki łuków ze sposobu 2 leżą na jednej prostej.

Zadanie 3.   Uzasadnij, że środki łuków ze sposobu 3 leżą na jednej prostej.

Uogólnienie tych trzech sposobów można zobaczyć poniżej, zmieniając położenie suwaka 'kąt'. Co to za kąt? Co to za metoda?   Wskazówka. Co widać, gdy kąt jest równy 180o?

 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

 

Całkiem inne ogony pokazane są na poniższym rysunku.
Spróbuj odkryć, jak są budowane sposobami 4 i 5.

 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

 

Zadanie 4.   Uzasadnij, że środki łuków ze sposobu 4 leżą na jednej prostej.

Zadanie 5.   Uzasadnij, że środki łuków ze sposobu 5 leżą na jednej prostej.

Sposób 6.  Łuk AG jest łukiem okręgu opisanego na trójkącie AGU.
Podobnie zbudowane są pozostałe łuki. To znaczy jak?

Zadanie 6.   Uzasadnij, że środki łuków ze sposobu 6 leżą na jednej prostej.

 

 

Problem.   Który ze sposobów daje najładniejszy ogon?

 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty.

 

Zadanie domowe.   Wymyśl siódmy sposób budowania ogona gwiazdy.

 

 

O ogonach gwiazdy zbudowanych z łuków paraboli można przeczytać w artykule Parabole kolędnika.

Powrót na górę strony