Puszka pod namiotem

Data ostatniej modyfikacji:
2009-11-5
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
geometria przestrzenna

Pełnia lata. Wakacje spędzam jak zwykle pod namiotem. Wkoło wspaniała przyroda: jezioro, łąka, w oddali las. Upał, żar się z nieba leje. Na szczęście w dłoni mam puszkę schłodzonego napoju. Niestety to mała puszeczka. Ach gdyby tak mieć dużą puszkę - zaczynam marzyć - taką wielką... Nic mnie nie ogranicza: mogłaby być nawet ogromna, byle zmieściła się w namiocie. No tak, ale właściwie to jak duże puszki można zmieścić w namiocie? I tak zacząłem marzyć na dobre...

Namiot = piramida = ostrosłup prawidłowy czworokątny, o wysokości H i krawędzi podstawy a.
Puszka = walec o wysokości h i promieniu podstawy r.

Puszki w namiocie mogą stać, leżeć, a nawet lewitować.
Jak wyglądają te, które ledwo się mieszczą? Te, których nie można powiększyć? Zapewne dotykają ścian namiotu. Są zablokowane, zaklinowane.

Rozważymy tylko trzy najprostsze przypadki pokazane poniżej.
Są to trzy typy, trzy kolekcje puszek (kliknij 'play').

I II III

'Pierwsze stoją, drugie i trzecie leżą: w poprzek i wzdłuż.'
Taki opis nie jest precyzyjny. A poniższy?
  I -  oś obrotu puszki jest prostopadła do podstawy namiotu.
  II -  oś obrotu puszki jest równoległa do pewnej przekątnej podstawy namiotu.
  III -  oś obrotu puszki jest równoległa do pewnej krawędzi podstawy namiotu.

Też nie (dlaczego?). Zauważmy, że wszystkie te puszki mają wspólną cechę: wysokość namiotu jest osią symetrii puszki (w II i III kolekcji również!).

Ten dodatkowy warunek jeszcze nie wystarcza; nie zostało sprecyzowane, że puszki typu I stoją (a nie unoszą się ponad podstawą), a typu II i III leżą. Pomińmy dalszy formalny opis.

Zobaczmy, czy wszystkie te puszki są faktycznie zaklinowane. Zobaczmy w jakich miejscach się klinują. W jakich punktach stykają się ze ścianami namiotu? Pomocne może być wyobrażenie sobie płaszczyzn zawierających denka puszek.

Klikając poniżej < >, można zobaczyć inne takie płaszczyzny.

h = 0.47. a h = 0.47. a h = 0.47. a

 
I
Widać, że puszka typu I styka się podstawą z podstawą namiotu i dotyka każdą ścianę boczną w jednym punkcie (leżącym na wysokości tej ściany).

 
II
Widać, że puszka typu II styka się z podstawą namiotu wzdłuż fragmentu (odcinka) przekątnej. Dotyka każdą ścianę boczną w jednym punkcie. Ten punkt nie leży (zazwyczaj) na wysokości ściany bocznej. A zatem gdzie leży? Wrócimy do tego pytania później.

 
III
Widać, że puszka typu III styka się z podstawą namiotu wzdłuż fragmentu (odcinka) symetralnej podstawy namiotu.  
 
III a
Jeśli wysokość puszki jest dość duża, to puszka dotyka dwie (przeciwległe) ściany boczne w punktach leżących na wysokościach tych ścian. Takiej puszki nie można powiększyć, blokują ją ściany namiotu. Jednak nie jest zaklinowana, może się trochę przemieszczać (w kierunku pokazanym przez strzałki).
III b
Jeśli wysokość puszki jest dość mała, to puszka dotyka dwie (przeciwległe) ściany boczne wzdłuż odcinków równoległych do podstaw tych ścian. Taką puszkę można powiększyć, można zwiększyć jej wysokość (w kierunku pokazanym przez strzałki).
III c
Jest jeden szczególny przypadek puszki typu III, puszki dotykającej dwóch (przeciwległych) ścian bocznych wzdłuż odcinków (równoległych do podstaw tych ścian) i ponadto w dwóch punktach leżących na drugiej parze ścian bocznych namiotu. Takiej puszki nie można powiększyć, jest zaklinowana, nie przemieszcza się w namiocie.


Czas najwyższy na jakieś rachunki. Poniżej zbadamy szczegółowo poszczególne typy puszek.
W każdym przypadku zakładamy, że dane są wielkości a, H. Wyznaczymy promień r walca w zależności od jego wysokości h.

I
Pomyślmy o jednokładności względem wierzchołka W namiotu i takiej skali s<1, że podstawa namiotu ABCD przechodzi na A'B'C'D' - fragment płaszczyzny górnego denka puszki. Oczywiście skala ta jest równa

s = (H - h) / H .
Zatem r jest obrazem promienia r0 okręgu wpisanego w podstawę ABCD, czyli
r = s . r0 = s . a/2 = (H - h) / H . a/2 ,
gdzie h (0, H) .

II
Pomyślmy o jednokładności względem wierzchołka C namiotu i takiej skali s<1, że BDW przechodzi na B'D'W' - fragment płaszczyzny denka puszki. Oczywiście skala ta jest równa

s = ( a /2 - h / 2 ) / ( a/2 ) = ( a - h / ) / a .
Zatem r jest obrazem promienia r0 okręgu wpisanego w trójkąt BDW, czyli
r = s . r0 = ( a - h / ) / a . r0 .

Dalej (trochę żmudnie) wyznaczymy r0 z podobieństw trójkątów widocznych na przekroju BDW :

\frac{r_0}{H-r_0}=\frac{a\sqrt{2}/2}{\sqrt{H^2+a^2{/}2}}
skąd
i ostatecznie
dla h (0, a) .

III
Szczególny przypadek III c opiszemy na końcu, teraz tylko oznaczmy przez hc i rc wysokość i promień tej szczególnej puszki.

III a
Z podobieństwa zaznaczonych trójkątów mamy:

a/2 : H = (a/2 - h/2) : 2r ,
skąd
r = H/a . (a - h)/2,
gdzie h (hc, a) .

III b
Niezależnie od h promień puszki jest stały,
r = rc ,
gdzie h (0, hc) .

III c
Promień rc tej szczególnej puszki jest taki, jak promień koła wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości H (dlaczego?). Zatem z podobieństwa trójkątów (p. rys.) mamy
skąd
Z IIIa mamy
rc = H/a . (a - hc)/2 ,
więc ostatecznie


Aby obliczyć objętości puszek trzeba do wzoru V = r 2 h wstawiać w miejsce r obliczone wielkości. Dostajemy (po przekształceniach):

I
V = /4 . a2/H2 . h . (H - h)2 ,   dla h (0, H) .

II
V = /2 . H2/a2 . h . (a - h)2/k2 ,   dla h (0, a) ,   gdzie .

III
V = rc2 . h ,   dla h (0, hc] ,
V = /4 . H2/a2 . h . (a - h)2 ,   dla h [hc, a) .


Tylko dla ... rozmarzonych

Aby rozstrzygnąć, która z puszek ma największą objętość zauważmy najpierw, że funkcja

y = p . x (q - x)2 , gdzie p, q > 0,
przyjmuje na przedziale [0, q] wartość największą w punkcie xmax = q/3 (wystarczy obliczyć pochodną tej funkcji i naszkicować jej wykres).

Zatem w poszczególnych kolekcjach, największe objętości puszek są następujące:

I
Vmax = /27 a2 H ,   dla hmax = H/3 .

II
Vmax = /27 a H2 . 4/k2 ,   dla hmax = a/3 ,   gdzie .

III
Jeśli hc a/3, to Vmax = /27 a H2 ,   dla hmax = a/3 ,
Jeśli hc > a/3, to Vmax = rc2 hc,   dla hmax = hc.

Pozostawiamy szczególnie wrażliwym Czytelnikom rozstrzygnięcie, która z tych trzech puszek ma największą objętość w namiocie o wymiarach: a = H = 3.


Problem 1. Zbadać puszki mieszczące się w namiocie będącym ostrosłupem prawidłowym trójkątnym.

 

Powrót na górę strony