Gdy przewrócimy stożek (o wysokości h i promieniu podstawy r), można go potoczyć.
Zakładamy, że stożek toczy się bez poślizgu, a jego wierzchołek W stoi w miejscu.
Jak się toczy? Zobaczmy.
Zacznijmy od szczególnego przypadku, gdy przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym,
= 90o, czyli gdy r = h.
Ten stożek, tocząc się, 'wymiata' w przestrzeni pewną bryłę. Jaką?
Oczywiście podstawą tej bryły jest koło o środku W i promieniu
(długość tworzącej stożka),
a wysokość tej bryły jest równa .
Może wydawać się, że szukana bryła jest także stożkiem
(ale o promieniu podstawy i wysokości równej ). Tak nie jest. Zobacz, że okrąg podstawy toczącego się stożka 'rzeźbi' przestrzeń bardziej niż średnice podstawy.
Toczący się stożek wymiata w przestrzeni półkulę o promieniu , bo 'najdalsze ostrza' stale są w odległości od W. Zapewne widzisz to, choć nie jest to narysowane :)
ZADANIE 1. Oblicz objętość bryły wymiatanej przez toczący się stożek, gdy:
a) r = 3, h = 4,
b) r = 4, h = 3.
Popatrzmy na trajektorię ustalonego punktu P okręgu podstawy stożka, to znaczy na linię, jaką przebiega punkt P, gdy stożek toczy się wokół W.
Ta linia leży na sferze (o środku W i promieniu ). Dlaczego?
Zobacz, że cały okrąg podstawy leży stale na tej sferze i toczy się po równiku tej sfery. Dlatego trajektorię punktu P można nazwać cykloidą sferyczną.
Zwykła cykloida, to linia wyznaczona przez punkt okręgu toczącego się po prostej.
Tylko w szczególnych przypadkach cykloida sferyczna jest linią zamkniętą.
Na przykład, gdy h = 
r
trajektoria ma dwa 'kawałki'. Sprawdź.
ZADANIE 2. Niech toczący się stożek ma r = 1. Wyznacz h, dla którego cykloida sferyczna (tzn. trajektoria punktu P) ma:
a) 3 'kawałki',
b) 4 'kawałki',
c) 17 'kawałków'.
