- STRONA GŁÓWNA
- MAPA PORTALU
- KALENDARZ
- O PORTALU
- WYKRESownik Edytor wzorów TeXa
więcej informacji o tekście: |
Krzysztof Omiljanowski
Rysunki dynamiczne 3D utworzono apletem z www.javaview.de/.
Można nimi manipulować, trzymając lewy przycisk myszy. Jeśli po kilkunastu sekundach rysunki nie wyświetlają się, kliknij . |
Gdy badaliśmy rozety opisane na wielokątach cyklicznych (tzn. takich, na których można opisać okrąg), okazało się, że ich obwody i pola wyrażają się dość prostymi wzorami (patrz artykuł Rozety: wpisana w wielokąt i opisana na wielokącie). Co więcej, uzasadnienia tych wzorów były łatwe i czysto geometryczne. Tu zbadamy analogiczne rozety dla wielościanów.
Określenie
Gdy na wielościanie można opisać kulę, to można też opisać na nim rozetę utworzoną w następujący sposób:
Gdy na wielościanie można opisać kulę, to można też opisać na nim rozetę utworzoną w następujący sposób:
- wyznaczamy środek O kuli opisanej na wielościanie,
- rysujemy promienie tej kuli łączące O z wierzchołkami wielościanu,
- tworzymy kule o średnicach będących tymi promieniami,
- rozeta opisana na wielościanie jest sumą tak utworzonych kul.
Rozeta opisana na sześcianie
Wyznaczymy Pr - pole powierzchni rozety opisanej na sześcianie o krawędzi a.
Promień Ro kuli opisanej na sześcianie ma długość taką, jak połowa przekątnej, Ro = /2 a.
Jej środek O jest punktem przecięcia przekątnych sześcianu.
Rozeta opisana na sześcianie składa się z ośmiu kul o promieniach
Rr = Ro/2 =
/4 a.
Kule te nachodzą na siebie (nie są rozłączne).
Na powyższym rysunku słabo widać szczegóły. Niemal cały sześcian schowany jest we wnętrzu rozety. Zatem popatrzmy tylko na jedną z ośmiu kul i to 'obdartą ze skórki'.
Na powierzchni rozety opisanej na sześcianie:
- leżą wierzchołki sześcianu,
(
),
- leżą środki krawędzi sześcianu
(
),
- leżą środki ścian sześcianu
(
),
- leży
punktów sześcianu.Zatem każda z ośmiu kul tworzących rozetę jest opisana na sześcianie (różowym) o krawędzi a/2.
Przy czym tylko część ich powierzchni tworzy powierzchnię rozety.
Mianowicie gdy pomyślimy o płaszczyznach ścian tych małych sześcianów (o krawędzi a/2), to podzielą one powierzchnie mniejszych kul na części żółte i zielone.
Cała powierzchnia rozety składa się więc z nienachodzących na siebie nawzajem części:
z żółtych i z części zielonych. Zatem:
Pr =
24 . Pżół +
24 . Pziel,
gdzie Pżół oznacza pole części żółtej, a Pziel -
pole części zielonej.
Teraz wystarczy już tylko wyznaczyć te wielkości. Pżół, Pziel.
W tym celu zauważmy, że
6 . Pżół +
12 . Pziel
=
4Rr2 .
Ponadto część żółta i cztery części zielone tworzą czaszę o wysokości h = Rr - a/4.
Już Archimedes znał wzór na pole powierzchni czaszy kulistej.
2Rr . h.
Mamy zatem układ równań:
6 . Pżół +
12 . Pziel
=
4Rr2 ,
1 . Pżół + 4 . Pziel = 2Rr . h.
1 . Pżół + 4 . Pziel = 2Rr . h.
Dzieląc pierwsze równanie przez 3 i odejmując od niego drugie, otrzymujemy:
Pżół
=
4/3 Rr2
- 2Rr . h
.
Uwzględniając to w drugim równaniu, mamy:
4 . Pziel
=
2Rr . h
-
(
4/3 Rr2
- 2Rr . h
)
Stąd
Pziel
=
Rr . h
-
1/3 Rr2 .
Zatem pole powierzchni rozety jest równe
Pr =
24 . (Pżół +
Pziel) =
24 . (
4/3 Rr2
- 2Rrh
+
Rrh
-
1/3 Rr2
)
=
24
(Rr2
- Rr h).
Uwzględniając, że
Rr = /4 a oraz
h = Rr - a/4
dostajemy na koniec:
Pr =
24 .
(Rr2
- Rr h)
=
24 . (
3/16 a2
-
/4 a (/4 a - a/4 )
)
=
3/2 .
a2.
Pole powierzchni rozety opisanej na sześcianie o krawędzi
a wynosi
3/2 .
a2.
Podobnie można wyznaczyć objętość tej rozety. Wszystkie rysunki pozostaną bez zmian. Trzeba jednak znać wzór na objętość odcinka kuli, tzn. bryły ograniczonej czaszą kuli i płaszczyzną odcinającą tę czaszę. Objętość odcinka kuli jest równa
Rr2h -
h3/3,
gdzie (jak poprzednio) Rr oznacza promień kuli, a
h - wysokość czaszy.
Zadanie 1.
Wyznacz Vr - objętość rozety opisanej na sześcianie o krawędzi a.
Podobnie można zbadać rozetę opisaną na czworościanie foremnym.
(Rysunki trzeba nieco zmodyfikować.)
Zadanie 2.
Wyznacz pole powierzchni i objętość rozety opisanej na czworościanie foremnym o krawędzi a.
Poniższe zadanie jest łatwe jeśli odpowiednio użyjemy poprzedniego.
Zadanie 3.
Wyznacz pole powierzchni i objętość rozety wpisanej w czworościan foremny o krawędzi b.
Wskazówka:
Zadanie 4.
Wyznacz pole powierzchni i objętość rozety wpisanej w ośmiościan foremny o krawędzi b.