Rozety: wpisana w wielokąt i opisana na wielokącie
Data ostatniej modyfikacji: 2016-03-22
Autor:
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny:
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki:
geometria syntetyczna
W artykule prezentujemy kilkanaście zadań o rozetach, przy czym termin 'rozeta' jest wzięty z języka potocznego. Tylko w nielicznych zadaniach konieczne jest użycie trygonometrii (co wyraźnie zaznaczamy). Jeśli początkowe zadania okażą się za nudne lub za łatwe, to wystarczy zrobić tylko pięć z nich: O.n.o, O.n.p, O.n.p', W.o, W.3.p'.
We wskazówkach ukryte są rysunki do zadań, ale warto spróbować zrobić je najpierw samodzielnie.
Rozeta opisana na wielokącie
Gdy na wielokącie można opisać koło, to można też opisać na nim rozetę utworzoną następująco:
- wyznaczamy środek O koła opisanego na wielokącie
- wyznaczamy promienie tego koła łączące O z wierzchołkami
- tworzymy koła o średnicach będących tymi promieniami
- opisana rozeta jest sumą utworzonych kół.
Zadanie O.4.a. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na kwadracie o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.6. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na sześciokącie foremnym o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.3.a. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie równobocznym o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.4.b. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na prostokącie o wymiarach a×b.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.3.b. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie prostokątnym o obu przyprostokątnych 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.3.c. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 6 i 8.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.n.o. Niech W będzie takim wielokątem, że można na nim opisać koło i środek tego koła leży w W. Wyznacz obwód tej rozety.
Wsk.
To nie jest trudne.
Zadanie O.n.p. Niech W będzie takim wielokątem, że można na nim opisać koło i środek tego koła leży w W. Uzasadnij, że
pole rozety opisanej na W jest średnią arytmetyczną
pola W i pola koła opisanego na W.
Wsk.
Patrz:
Zadanie O.n.p'. (dla znających trygonometrię)
Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie o bokach 1, 1,
.
Rozeta wpisana w wielokąt
Gdy w wielokąt można wpisać koło, to można też wpisać weń rozetę
utworzoną następująco:
- wyznaczamy środek O koła wpisanego w wielokąt
- wyznaczamy promienie tego koła łączące punkty styczności z O
- tworzymy koła o średnicach będących tymi promieniami
- wpisana rozeta jest sumą utworzonych kół.
Zadanie W.4. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w kwadrat o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie W.6. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w sześciokąt foremny o boku 4.
Wsk. 1.
Wygląda to tak:
Wsk. 2.
Jaka jest miara zaznaczonego kąta?
Zadanie W.3. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w trójkąt równoboczny o boku 4.
Wsk. 1.
Wygląda to tak:
Wsk. 2.
Jaka jest miara zaznaczonego kąta?
Zadanie W.3.b. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie W.3.c. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie W.o. Jaki jest obwód rozety wpisanej w wielokąt, w który można wpisać koło o promieniu r?
Wsk.
To nie jest trudne.
Zadanie W.n. (dla znających trygonometrię)
Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w n-kąt foremny o boku a.
Zadanie W.3.p'. (dla znających trygonometrię)
Niech r i R oznaczają promień koła wpisanego trójkąt i promień koła opisanego na trójkącie t. Uzasadnij, że
Pole rozety wpisanej w t jest równe r2/2 +
1/8 .r2/R. obwód t .
Zadanie W.3.p''. (dla znających trygonometrię)
Niech r i R oznaczają promień koła wpisanego w trójkąt i promień koła opisanego na trójkącie t. Uzasadnij, że
Pole rozety wpisanej w t jest równe r2/2 +
1/4 .r/R. pole t .
W drugi dzień świąt Bożego Narodzenia została znaleziona największa znana liczba pierwsza 2^77232917 - 1 (ma 23 249 425 cyfr). Jest to 50. znana liczba Mersenne'a.
W kwietniu odbędzie się w Augustowie finał LXIX Olimpiady Matematycznej z udziałem 15 uczniów z 6 wrocławskich szkół: III LO (6 os), XIV LO (5 os) i po jednej osobie z: LO V, LO XXIV, GA PWr i SP 107.
Tuwim spotkał się kiedyś ze Steinhausem w Zakopanem. Kiedy usłyszał jego hugonotkę "kula u nogi - Ziemia" ukląkł przed nim i powiedział jedno słowo: "Mistrzu!"."
Powszechnie znana jest zasada sprawiedliwego podziału tortu między dwie osoby: jeden dzieli, drugi wybiera. Jak uogólnić ją na dowolną liczbę osób? To jedno z zagadnień, nad którym pracował Hugo Steinhaus.
Genialni. Lwowska Szkoła Matematyczna – książka autorstwa wrocławskiego dziennikarza Mariusza Urbanka barwnie opisuje życie Steinhausa i uczonych z jego otoczenia.
Trudne słowo
Będąc studentem, Andrzej Hulanicki rozwiązał problem postawiony przez Steinhausa. Udowodnił, że jeśli niektóre pola szachownicy są zaminowane tak, że wieża nie może przejść z lewej bandy na prawą, to król może przejść po polach zaminowanych z dolnej bandy na górną. Steinhaus przejrzał dowód i powiedział: Rozwiązanie dobre, ale nie wierzę, że "wieżę" piszę się przez "rz".