Rozety: wpisana w wielokąt i opisana na wielokącie
Data ostatniej modyfikacji: 2016-03-22
Autor:
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny:
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki:
geometria syntetyczna
W artykule prezentujemy kilkanaście zadań o rozetach, przy czym termin 'rozeta' jest wzięty z języka potocznego. Tylko w nielicznych zadaniach konieczne jest użycie trygonometrii (co wyraźnie zaznaczamy). Jeśli początkowe zadania okażą się za nudne lub za łatwe, to wystarczy zrobić tylko pięć z nich: O.n.o, O.n.p, O.n.p', W.o, W.3.p'.
We wskazówkach ukryte są rysunki do zadań, ale warto spróbować zrobić je najpierw samodzielnie.
Rozeta opisana na wielokącie
Gdy na wielokącie można opisać koło, to można też opisać na nim rozetę utworzoną następująco:
- wyznaczamy środek O koła opisanego na wielokącie
- wyznaczamy promienie tego koła łączące O z wierzchołkami
- tworzymy koła o średnicach będących tymi promieniami
- opisana rozeta jest sumą utworzonych kół.
Zadanie O.4.a. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na kwadracie o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.6. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na sześciokącie foremnym o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.3.a. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie równobocznym o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.4.b. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na prostokącie o wymiarach a×b.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.3.b. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie prostokątnym o obu przyprostokątnych 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.3.c. Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 6 i 8.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie O.n.o. Niech W będzie takim wielokątem, że można na nim opisać koło i środek tego koła leży w W. Wyznacz obwód tej rozety.
Wsk.
To nie jest trudne.
Zadanie O.n.p. Niech W będzie takim wielokątem, że można na nim opisać koło i środek tego koła leży w W. Uzasadnij, że
pole rozety opisanej na W jest średnią arytmetyczną
pola W i pola koła opisanego na W.
Wsk.
Patrz:
Zadanie O.n.p'. (dla znających trygonometrię)
Wyznacz obwód i pole rozety opisanej na trójkącie o bokach 1, 1,
.
Rozeta wpisana w wielokąt
Gdy w wielokąt można wpisać koło, to można też wpisać weń rozetę
utworzoną następująco:
- wyznaczamy środek O koła wpisanego w wielokąt
- wyznaczamy promienie tego koła łączące punkty styczności z O
- tworzymy koła o średnicach będących tymi promieniami
- wpisana rozeta jest sumą utworzonych kół.
Zadanie W.4. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w kwadrat o boku 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie W.6. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w sześciokąt foremny o boku 4.
Wsk. 1.
Wygląda to tak:
Wsk. 2.
Jaka jest miara zaznaczonego kąta?
Zadanie W.3. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w trójkąt równoboczny o boku 4.
Wsk. 1.
Wygląda to tak:
Wsk. 2.
Jaka jest miara zaznaczonego kąta?
Zadanie W.3.b. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie W.3.c. Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8.
Wsk.
Wygląda to tak:
Zadanie W.o. Jaki jest obwód rozety wpisanej w wielokąt, w który można wpisać koło o promieniu r?
Wsk.
To nie jest trudne.
Zadanie W.n. (dla znających trygonometrię)
Wyznacz obwód i pole rozety wpisanej w n-kąt foremny o boku a.
Zadanie W.3.p'. (dla znających trygonometrię)
Niech r i R oznaczają promień koła wpisanego trójkąt i promień koła opisanego na trójkącie t. Uzasadnij, że
Pole rozety wpisanej w t jest równe r2/2 +
1/8 .r2/R. obwód t .
Zadanie W.3.p''. (dla znających trygonometrię)
Niech r i R oznaczają promień koła wpisanego w trójkąt i promień koła opisanego na trójkącie t. Uzasadnij, że
Pole rozety wpisanej w t jest równe r2/2 +
1/4 .r/R. pole t .
Służba zdrowia na pierwszej linii frontu walki z koronawirusem zapracowała już na oklaski z balkonów. Ale nikt dotychczas nie wpadł na pomysł OKLASKÓW DLA NAUCZYCIELI. To oni udźwignęli na własnych (choć marnie opłacanych) barkach odtrąbiony hucznie przez ministra edukacji sukces zdalnego nauczania. Bo chyba nie miał pan minister na myśli blamażu z równie hojnie dotowanym co efektownie skompromitowanym projektem "Szkoła z TVP", za który bezdyskusyjnie należy się panu ministrowi tytuł edukacyjnego odkrycia miesiąca, a nawet całego roku szkolnego. I nie chodzi tu wcale o wynalezienie innowacyjnych własności liczb parzystych, a o promowanie skostniałych metod nauczania encyklopedycznego. Na szczęście wielu nauczycieli pokazało na swoich koronalekcjach, że z polską edukacją nie jest aż tak źle, jak próbował pokazać to w TVP pan minister.
Kto ma największe szanse na wynalezienie szczepionki przeciw COVID-19 zanim zrobią to naukowcy?
Zdesperowani rodzice, jeśli zamknięcie szkół będzie przedłużone do wakacji.
Dowcip miesiąca
Dzień Wagarowicza 2020
Chodźcie, uciekniemy z lekcji do szkoły!
Cytat miesiąca
W 1665 roku z powodu epidemii dżumy zamknięto Uniwersytet w Cambridge i odesłano studentów do domów. 23-letni wówczas Isaac Newton wrócił na farmę matki i wynalazł rachunek różniczkowy. Matematycy, do roboty! Paweł Tkaczyk
Impreza miesiąca
Maturzyści zakończyli rok szkolny i mają dwa miesiące na samodzielne przygotowanie się do egzaminów. Pomóc im mogą w tym programy powtórkowe Korki.tv w telewizji Metro (archiwizowany w serwisie Player.pl) oraz Repetytorium Maturzysty w TVP (archiwizowany na TVP VOD).
Arcydzieło miesiąca
W przygotowaniach do egzaminu maturalnego szczególnie pomocna może być platforma Pi.edu.pl stworzona przez absolwenta IM UWr Piotra Kryszkiewicza.
"Odkryj, zrozum, zastosuj" - e-podręcznik dla szkoły średniej na stronach MEN - może przydać się w zdalnym nauczaniu i do ostatnich powtórek przed maturą.
Norweska Akademia Nauk przyznała Nagrodę Abela za rok 2020 Hillelowi Furstenbergowi (Uniwersytet Hebrajski w Jerozolimie, Izrael) i Gregoremu Margulisowi (Uniwersytet Yale, USA) za wykorzystanie metod rachunku prawdopodobieństwa w teorii grup, teorii liczb i kombinatoryce. Ceremonia wręczenia nagrody zaplanowana na 19 V została przesunięta na inny termin.
To nie jest trudne.
.
Jaka jest miara zaznaczonego kąta?
r2/2 +
1/8 .
r2/R . obwód t .
Norweska Akademia Nauk przyznała Nagrodę Abela za rok 2020 Hillelowi Furstenbergowi (Uniwersytet Hebrajski w Jerozolimie, Izrael) i Gregoremu Margulisowi (Uniwersytet Yale, USA) za wykorzystanie metod rachunku prawdopodobieństwa w teorii grup, teorii liczb i kombinatoryce. Ceremonia wręczenia nagrody zaplanowana na 19 V została przesunięta na inny termin.
