Różnica symetryczna (w zadaniach)

Data ostatniej modyfikacji:
2009-12-25
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła podstawowa
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
rachunek zbiorów
kombinatoryka

Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów tych zbiorów, które należą do dokładnie jednego z nich. Różnicę symetryczną zbiorów A i B oznaczamy:

A B.

Przykłady:
 
    {1, 3, 4, 6, 7, 9} {3, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 4, 5, 8} ,
 
    {1, 2, 3, 4, 5, 6} {4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 7, 8, 9} ,
 
    {3, 1, 4, 2, 5, 9} {1, 2, 9, 8, 5, 6} = {3, 4, 6, 8} ,
 
    {1, 3, 5, 7, 9} {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ,
 
    {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9} {1, 2, 3, 5, 7} = {8, 9} ,
 
    {1, 2, 3, 5, 7} {1, 2, 3, 5, 7} =     (nic = zbiór pusty) .
 


Poniższe zadania pozwolą zapoznać się z tym pojęciem. Niektóre są dość trudne (pochodzą z konkursu KOMA dla uczniów szkół podstawowych).

(Wersja pdf tych zadań jest dostępna tutaj.)  
 


 
Zad. 1.   Niech P oznacza (pełny) prostokąt ABCD i niech T oznacza (pełny) trójkąt EFG. Na rysunku zacieniuj P T.

Zad. 2.   Uzupełnij:
 
{1, 3, 4, 6, 7} {2, 3, 5, 6, 7, 8} = .................................. ,
 
{1, 2, 5, 7} {3, 4, 7} {2, 5, 6, 7, 8} = ........................ ,
 
{2, 3, 6, 7} {....................................} = {1, 3, 5, 7, 8, 9} ,
 
{....................................} {1, 3, 4, 5, 8} = {1, 2, 3, 7, 8, 9} ,
 
{1, 3, 5, 7} {....................................} {2, 3, 7, 8} = {1, 3, 4, 7, 8} .
 

Zad. 3.   Podaj takie x, y, że   {1, 3, x, y} {3, 7} = {1, 4} .
 

Zad. 4.  
a)   Podaj taką parę P, R zbiorów czteroelementowych, o elementach wybranych
spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, że

P R = {2, 3, 4, 5} .

b)   Ile jest wszystkich takich par P, R spełniających te same warunki?
 
c)   Ile jest wszystkich takich par S, T zbiorów czteroelementowych, o elementach wybranych
spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, że
S T = {2, 3, 4} ?

 

Zad. 5.   Niech K oznacza kwadrat ABCD o boku 4 i niech T oznacza trójkąt ABE, gdzie punkt E leży na półprostej AD. Oblicz pole figury K T gdy:
 
a)   odległość AE jest równa 2,
 
b)   odległość AE jest równa 4,
 
c)   odległość AE jest równa 8.
 
Czy jest takie E na półprostej AD, że pole K T jest mniejsze od 8?
 

Zad. 6.a)   Dla figur:

P = (a2; b3; c2; c4; d1; d3; e4)
R = (a2; a3; c1; c2; c3; c4; d3)
znajdź takie Y, że
P R = Y .

 
Zad. 6.b)   Dla figur:

S = (b3; c2; c3; c4; d3)
T = (b2; b4; c3; d2; d4)
znajdź takie X, że
S Y = T .


 
Zad. 7.   Niech S = (d4; d5; e4; e5; f4; f5) czyli S jest pewnym prostokątem kratowym ‘pionowo-poziomym’. Podaj trzy przykłady takich prostokątów kratowych ‘pionowo-poziomych’ P, że

S P jest kwadratem kratowym ‘pionowo-poziomym’.
Ile jest prostokątów P spełniających te warunki?
 

Zad. 8.   Niech S = (d4; d5; e4; e5; f4; f5) będzie prostokątem
Ile jest takich prostokątów kratowych pionowo-poziomych P, że

S P jest figurą o polu 5 (tzn. jest złożoną z pięciu kratek)
i ponadto:
a)   prostokąt P ma pole 1 (1 kratkę)?
b)   prostokąt P ma pole 2 (2 kratki)?
c)   prostokąt P ma pole 3 (3 kratki)?
d)   prostokąt P ma pole 4 (4 kratki)?
e)   prostokąt P ma pole 5 (5 kratek)?
 

Zad. 9.   Niech A = {2, 3, 4} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
a)   Podaj przykład takiego zbioru C, że

(*)      liczba el.(A C)  +  liczba el.(C B)  =  liczba el.(A B) .
 
b)   Ile jest wszystkich takich zbiorów C spełniających warunek (*) ?
 
c)   Ile jest wszystkich takich zbiorów E takich, że
liczba el.(A E)  =  liczba el.(E B)  =  1/2 . liczba el.(A B) ?

 

 

Powrót na górę strony