Serca i łuki (1)

Zbadaj płaskie serca przedstawione na rysunkach.Są przy nich ukryte podpowiedzi - w razie potrzeby naciśnij P. Do zadań bez gwiazdek w zasadzie wystarcza jedynie znajomość twierdzenia Pitagorasa.
Przyjmujemy, że kratki mają wymiary 1 × 1.

 

---

 

Brzegi serc typu S są zbudowane tylko z ćwiartek okręgów.

Zadanie 1.   Uzupełnij:

    a)   obwód S₀ = . . . . . . ,
    b)   pole S₀ = . . . . . . .
 

obwód S1 = . . . . . .     pole S1 = . . . . . .

obwód S2 = . . . . . .     pole S2 = . . . . . .

obwód S3 = . . . . . .     pole S3 = . . . . . .

Zadanie 3. (bez rysunku)   Łatwo sobie wyobrazić figury S_x , dla x pomiędzy 0 i 4.
    a)   Czy    obwód S_{a + b}  =  obwód S_a  +  obwód S_b  ?
    b)   Czy    pole S_{a + b}  =  pole S_a  +  pole S_b  ?
    c)   Czy    obwód S _{2 ^. c}  =  2 ^. obwód S_c  ?
    d)   Czy    pole S _{2 ^. c}  =  2 ^. pole S_c  ?
    e)   Czy    obwód S _(a+b)/2  =  (obwód S_a + obwód S_b ) / 2  ?
    f)   Czy    pole S _(a+b)/2  =  (pole S_a + pole S_b ) / 2  ?

 
Zadanie 4.   Na rysunku widać największy okrąg zawarty w S₂, o środku leżącym na osi symetri tej figury.
    a)   Oblicz promień r₂ tego okręgu.
    b)   Oblicz promień r₃ takiego okręgu zawartego w S₃.
    c)   Oblicz promień r₁ takiego okręgu zawartego w S₁.
    d)   W jakiej figurze S_x taki okrąg ma promień r_x = 1 ?

Zadanie 6.   Wyznacz promień największego okręgu zawartego w S_x , dla x pomiędzy 0 i 4.
 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 
 
Wskazówka.  
Na dynamicznym rysunku obok (kliknij ) widać wszystkie okręgi zawarte w S_x, które mają co najmniej dwa punkty wspólne z brzegiem S_x.
Można zmieniać x przesuwając (w poziomie) zaznaczony punkt.

 

---

 

Serca typu H wyglądają na prostsze, są ograniczone dwoma łukami okręgów i dwoma odcinkami.

Jednak tak tylko się wydaje. By rozwiązać poniższe zadanie, gdy nie znasz trygonometrii, musisz skorzystać z informacji podanych we wskazówce.

obwód H3 = . . . . . .     pole H3 = . . . . . .	obwód H4 = . . . . . .     pole H4 = . . . . . .	obwód H5 = . . . . . .     pole H5 = . . . . . .
obwód H6 = . . . . . .     pole H6 = . . . . . .	obwód H7 = . . . . . .     pole H7 = . . . . . .	obwód H8 = . . . . . .     pole H8 = . . . . . .

Rysunek utworzony w Geogebrze

 
 
Uwaga.  
Na dynamicznym rysunku obok (można przesuwać w pionie punkt K ) widać zależność pomiędzy długością odcinka h w figurze H_h, a miarą kąta .
Można przyjąć, że wielkość h determinuje ową figurę. Również kąt ją opisuje jednoznacznie.
To ostatnie stwierdzenie zanotujemy kodując ową figurę symbolem: H .

    a)   obwód H ⁶⁰ = . . . . . .
            pole H ⁶⁰ = . . . . . .

    b*)   obwód H ⁶⁷ = . . . . . .
            pole H ⁶⁷ = . . . . . .

 
 
Zadanie 9.   Na rysunku widać największy okrąg zawarty w figurze typu H, o środku leżącym na osi symetri tej figury.
    a)   Oblicz promień r⁶⁰ takiego okręgu zawartego w H ⁶⁰.
    b*)   Oblicz promień r⁶⁷ takiego okręgu zawartego w H ⁶⁷.
    c)   Oblicz promień r₃ takiego okręgu zawartego w H₃.
    d)   W jakiej figurze H_h taki okrąg ma promień r_h = 2 ?
 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 
 
 
 
Wskazówka.  
Na dynamicznym rysunku obok (kliknij ) widać wszystkie okręgi zawarte w danej figurze typu H, o co najmniej dwóch punktach wspólnych z nią.

 

---

---

 

Zakończymy trudniejszymi zadaniami (ostatniego nie umiem rozwiązać).

 
 
Zadanie 10.  
    a)   Wyznacz funkcję:  f ()  taką, że     H _{f ()}  =   H .
    b*)   Wyznacz funkcję  g (h )  taką, że     H ^{g (h)}  =  H _h .
    c)   Wyznacz wzór na długość  R (h)  promienia największego okręgu zawartego w H_h.
    d*)   Wyznacz wzór na długość  R' ()  promienia największego okręgu zawartego w H.
 

 
 
Zadanie 11*.   Środki okręgów zawartych w H₄, które mają co najmniej dwa punkty wspólne z brzegiem H₄, leżą na pewnych liniach. Na jakich? A jak to jest dla H₁₄ ?

 
 
Zadanie 12*.   Środki okręgów zawartych w S₃, które mają co najmniej dwa punkty wspólne z brzegiem S₃, leżą na pewnych liniach. Na jakich? A jak to jest dla S₁ ?

 
 
Zadanie 13**.   Na rysunku obok duże różowe okręgi są największymi okręgami zawartymi w figurze typu S. Wydaje się, że na rysunku obok wszyskie koła są styczne. Czy faktycznie tak jest?
To znaczy, czy istnieje x takie, że w figurze S _x styczne są okręgi przedstawione na rysunku?

 

---

 

Podobne zadania znajdziesz w tekście Serca i łuki (2) .

 

---

---