Siła wektorów i liczydła

Kinematyka jest w pewnym sensie bardziej zaawansowaną grą w podchody, albo raczej ogólną teorią tej gry. Nie znaczy to, że jest bardziej skomplikowana. Wręcz przeciwnie. Jej twórcy (Galileusz, Newton i inni) wymyślili (stworzyli) kinematykę tak, by dawała możliwie prosty opis ruchu. Zobaczmy.

W podchodach strzałki określają kierunek marszu przez las. Umówmy się, że ich długość będzie określała tempo marszu:
-  strzałka długości 1 - spacer w tempie 1 m/s (= 3,6 km/h), czyli w każdej sekundzie przechodzimy jeden metr,
-  strzałka długości 2 - żwawy marsz w tempie 2 m/s (= 7,2 km/h), czyli w każdej sekundzie przechodzimy dwa metry,
-  strzałka długości 5 - bieg w tempie 5 m/s (= 18 km/h), czyli w każdej sekundzie przebiegamy 5 metrów.
Ogólnie:
-  strzałka długości d - tempo d m/s (= d ^. 3600/1000 km/h).
Strzałki można układać z szyszek, albo notować na papierze jako pary liczb:
   [4,3] oznacza, że idziemy na północny-wschód, a dokładniej, że w ciągu każdej sekundy przesuwamy się 4 metry na wschód i jednocześnie 3 metry na północ,
   [2,1] oznacza, że w ciągu każdej sekundy przesuwamy się 2 metry na wschód i jednocześnie 1 metr na północ,
   [3,0] oznacza, że idziemy na wschód, w ciągu każdej sekundy przesuwamy się 3 metry na wschód i jednocześnie 0 metrów na północ,
   [-3,-1] oznacza, że idziemy na południowy-zachód, a dokładniej, że w ciągu każdej sekundy przesuwamy się 3 metry na zachód i jednocześnie 1 metr na południe.
Te strzałki, to są wektory prędkości.
Gdy przez 7 sekund będziemy iść ze stałą prędkością [2,1], to z punktu C dojdziemy do D.
Po jakim czasie dojdziemy z A do D, idąc ze stałą prędkością [4,3]?
Po jakim czasie dojdziemy z B do D, idąc ze stałą prędkością [3,0]?
Dokąd dojdziemy, idąc z B przez 4,5 s ze stałą prędkością [0,-2]?
Jaś szedł 2 s prosto z A do C. Z jaką prędkością?   Odp.: [-1,1].
Staś szedł 4 s prosto z C do A. Z jaką prędkością?   Odp.: [ ... , ... ].

W przeciwieństwie do czerwonych, wektory niebieskie są wszystkie zaczepione w punkcie O=(0,0).
Powiemy, że A ma współrzędne (3, 1) albo, że [3, 1] jest wektorem położenia punktu A, czyli OA = [3,1].
Wektor OC = [1,3] jest wektorem położenia punktu C.

Różnica wektorów położenia punktów D i C jest równa
   OD  - OC  = [15, 10] - [1, 3] = [14, 7] = 7 ^. [2, 1].
Podobnie:
   OD  - OA  = [15, 10] - [3, 1] = [12, 9] = 3 ^. [4, 3],
   OD  - OB  = [15, 10] - [3, 10] = [12, 0] = 4 ^. [3, 0].

Stąd prędkość to nie tyle droga:czas, ale położenie:czas. Mówiąc precyzyjniej: 
gdy w ruchu w czasie pomiędzy t₁ a t₂ położenie zmieni się z r₁ do r₂,
to prędkość (średnia) v jest równa

  v   =   ( r₂ - r₁ ) / (t₂ - t₁) ,

  (t₂ - t₁) ^. v   =   r₂ - r₁     lub, pisząc w skrócie,     t ^. v   =   r .

Gdy znamy prędkości: [3, 4] przez 6 s, [2, 0] przez 10 s, [-2,-1] przez 14 s, to możemy określić położenie w dowolnej chwili tego ruchu pod warunkiem, że podane jest położenie początkowe, np. [10, 17]. Uzupełnij tabelkę:

t = 2 s,              r = [x, y] ,              v = [v_x, v_y] ,

Te obliczenia można z łatwością zautomatyzować w arkuszu kalkulacyjnym.
Skoro   t ^. v   =   r₂ - r₁,   więc   r₂   =   r₁ +   t ^. v ,   ogólnie   r_n+1   =   r_n +   t ^. v ,
skąd   x_n+1   =   x_n + t ^. v_x ,       y_n+1   =   y_n + t ^. v_y .

Na razie nie było istotnego uproszczenia opisu ruchu (w porównaniu z grą w podchody), to tylko automatyzacja. Uproszczenie polega na tym, że fizyka podpowiada, jak zmieniają się prędkości w typowych przykładach ruchu.

Zmiany prędkości mierzy przyśpieszenie. 
Gdy w ruchu w czasie pomiędzy t₁ a t₂ prędkość zmieni się z v₁ do v₂,
to przyśpieszenie (średnie) a jest równe:

  a   =   ( v₂ - v₁ ) / (t₂ - t₁) ,

  (t₂ - t₁) ^. a   =   v₂ - v₁     lub, pisząc w skrócie,     t ^. a   =   v .

Zatem przyśpieszenie jest też wektorem!

Galileusz stwierdził, że jeśli na ciało o masie m działa stała siła, to powoduje ona ruch tego ciała ze stałym przyśpieszeniem

F   =   m ^. a

Tak spada jabłko z drzewa. Ziemia przyciąga je, tzn. nadaje mu (stałe) przyśpieszenie [0, -9,81].
(Teraz oś OY jest pionowa, nie wyznacza kierunku północnego.)
Zobaczmy, że ta informacja wystarczy do opisu ruchu jabłka. Przyjmijmy dla uproszczenia przyśpieszenie a = [0, -10] i wysokość drzewa 20 m (położenie początkowe r = [0, 20] ).

t = 0,2 s ,           r = [x, y] ,           v = [v_x, v_y] ,           a = [a_x, a_y] ,

Na początek obliczamy współrzędne v_x, v_y wektorów prędkości.
Skoro   t ^. a  =  v_n+1 - v_n   więc   v_n+1  =  v_n +   t ^. a ,
skąd    nowe v_y = stare v_y + 0,2 ^. (-10)   i   nowe v_x = stare v_x + 0,2 ^. 0 = 0 .
Zatem:

Kłopot mamy z y, bo prędkość nie jest stała. Przyjmiemy, że prędkość pomiędzy czasem 0 a 0,2 jest średnią arytmetyczną prędkości w tych chwilach, podobnie pomiędzy 0,2 a 0,4.
Zatem:

W arkuszu kalkulacyjnym można to zrobić automatycznie.

 
t =        a = [ a_x, a_y]  =  [ , ]
 

Zmieniając ewentualnie dane w powyższym arkuszu, można znaleźć odpowiedzi na szereg pytań:

a)  Jak długo spada jabłko?

b)  Z jaką prędkością uderzy w ziemię?

c)  Czy odpowiedzi do a) i b) zmienią się, gdy przyjmiemy t = 0,05 s ?

d)  Czy z czterokrotnie niższego drzewa jabłko spada czterokrotnie krócej?

e)  Czy spadając z czterokrotnie niższego drzewa, jabłko uderzy w ziemię z czterokrotnie mniejszą prędkością?

f)  Jak długo spada piłeczka upuszczona z wysokości 125 cm? Z jaką prędkością uderza w ziemię?

g)  Strzelamy (dokładnie) poziomo do tarczy odległej o 100 m, z karabinu, z którego pocisk wylatuje z szybkością |v| = 720 km/h = 200 m/s. W czasie lotu pocisk obniży się nieco. Jakie jest to 'nieco'? Czy to 1 mm, czy 1 cm, czy 1 m?

h)  Rzucamy piłeczką tenisową z szybkością |v| = 108 km/h = 30 m/s.
Kiedy dalej zaleci? Czy przy prędkości [24, 18], czy przy [18, 24]?
Kiedy prędzej spadnie na ziemię? Czy przy prędkości [24, 18], czy przy [18, 24], czy przy [0, 30]?

h*)  Rzucamy piłeczką tenisową z szybkością |v| = 108 km/h = 30 m/s.
Pod jakim kątem ją rzucić, by zaleciała najdalej?

i)  Na powierzchni Księżyca przyciąganie jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi.
Jak zmienią się odpowiedzi do zadań a) - h) ?

W powyższych zadaniach nie uwzględnialiśmy oporu powietrza, więc są bardziej realne dla Księżyca niż dla Ziemi!
Jak zmodyfikować rozwiązania, by uwzględniały opory powietrza?  

Fizyka (nie całkiem łatwa) podpowiada, że z pewnym przybliżeniem można przyjąć, że opór powietrza jest siłą proporcjonalną do prędkości:

F_op = - k ^. v,

gdzie współczynnik k zależy od kształtu i masy poruszającego się ciała. (Wyznaczanie tego współczynnika nie jest proste. Często robi się to doświadczalnie, np. w tunelach aerodynamicznych.)

Na poruszające się ciało działa zatem nie tylko stała siła grawitacji F_g = g = [0, -g] = [0, -9,81], ale też zmienny opór powietrza F_op.
Siła wypadkowa nadaje ciału (zmienne) przyśpieszenie a:
 

m ^. a   =   F   =   F_g  +  F_op   =   m ^. g  -  k ^. v   =   m ^. ( g  -  k/m ^. v) ,

a   =   g  -  k/m ^. v .

To już wystarczy, by opisać ruch ciała, o ile tylko znamy współczynnik (stały) k/m.
Poniżej podany jest opis ruchu piłeczki wyrzuconej z balonu na wysokości 1000 m, z prędkością [24, 18], gdy współczynnik k/m = 0,4.

 
t =        a = [ a_x, a_y]  =  [ , ]
 

Uwaga. W miejsca a_x, a_y można wpisywać dowolne stałe, jak również funkcje zmiennych: t, x, y, vx, vy (piszemy w jednej linii: vx, vy).

 
Teraz można odpowiedzieć bardziej realistycznie na pytania:

j)  Po jakim czasie piłeczka spadnie na ziemię?

k)  Z jaką prędkością uderzy w ziemię?

l)  Jak zmienią się odpowiedzi do j) - k), gdy piłeczkę upuścimy, tzn. jej początkowa prędkość wyniesie [0,0]? Zadziwiające?

m)  Jak zmienią się odpowiedzi do j) - k), gdy wystrzelimy pocisk z poddźwiękową prędkością = [240,180]? Zadziwiające?

n)  Jak zmienią się odpowiedzi do j) - k), gdy wystrzelimy pocisk z poddźwiękową prędkością = [240,180], dla którego współczynnik k/m = 0,1?

Można stawiać szereg dalszych pytań. Zachęcamy i życzymy miłej zabawy.
Trzeba tylko uważać z przeniesieniem jej na Księżyc. Tam nie ma oporów powietrza, bo... nie ma powietrza. Za to duże opory są w ruchu pod wodą (duże współczynniki k/m).

Zajrzyj też do tekstu Siła wektorów (i geometrii).