Średnia długości przekątnych

Data ostatniej modyfikacji:
2015-08-11
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
Dynamiczne rysunki utworzono przy użyciu programu C.a.R..

 

Rozważać będziemy n-kąty foremne wpisane w ustalony okrąg o promieniu R.

Niech   1/(n-1) pk   oznacza średnią odległości ustalonego wierzchołka od pozostałych wierzchołków n-kąta (foremnego, wpisanego w okrąg o promieniu R).

Ta średnia jest równa
dla n = 3,
dla n = 4,
dla n = 6  

Dalej pokażemy, że im n jest większe, tym średnia jest bliższa liczbie  4 / R, tzn. że dla dużych n zachodzi

  (*) 1 / (n-1)    pk     4 /     R.

Niemal całe rozumowanie można odczytać z poniższego rysunku.

 

Można przesuwać 'wypełnione' punkty i suwaki.

 

Poniżej opiszemy, co można odczytać z tego rysunku.

Rozcinamy wielokąt wzdłuż każdego z odcinków łączących A z pozostałymi wierzchołkami i rozchylamy powstałe części o kąt (na rysunku zwiększ ). Powstaje n-1 zielonych trójkątów równoramiennych o ramionach długości pk i podstawach bk.

Dla ustalonego > 0:

  - wszystkie zielone trójkąty są podobne,

  - stosunek długości ramienia do podstawy w tych trójkątach s = pk / bk jest stały,

  - podstawy zielonych trójkątów tworzą czerwoną łamaną L o długości

pk   =   s bk   =   s bk .

Gdy   = , to:

- wszystkie podstawy leżą na jednej prostej (oblicz kąt pomiędzy sąsiednimi podstawami),

- rozchylone boki oryginalnego wielokąta tworzą połowę obwodu 2n-kąta foremnego, bo kąt zewnętrzny 2n-kąta foremnego jest równy 360o / (2n), czyli tyle, co 2 - =
(włącz show A),

- łączna długość podstaw ( bk) jest równa średnicy okręgu opisanego na 2n-kącie foremnym o boku AB (bo końce odcinka L połowią obwód tego 2n-kąta),

- promień O'A okręgu opisanego na 2n-kącie foremnym o boku AB jest:
          - równy najdłuższemu z odcinków pk, gdy n jest nieparzyste,
          - dłuższy od najdłuższego z odcinków pk krótszych od 2R, gdy n jest parzyste.

Z ostatnich dwóch obserwacji dla = i dla dużych n mamy:   bk     4R.

Potrzebna jest jeszcze jedna obserwacja (włącz show B).

Dla = , dla dużych n, zauważmy, że n jednakowych trójkątów podobnych do tych zielonych, złączonych ramionami utworzy prawie półkole. Ich n podstaw ma łączną długość niemal taką, jak półokrąg. Zatem stosunek s ramienia do podstawy w tych trójkątach jest niemal równy stosunkowi promienia do 1/n długości półokręgu.
Stąd    s n / .

Podsumujmy. Dla = , dla dużych n mamy:
 

1/(n-1) pk  =  1/(n-1) s bk     1/(n-1) n/ 4R  =  n/(n-1) 4/ R .
 
Ponieważ n/(n-1) 1 (za n wstaw: tysiąc, milion, miliard,...), mamy
 
1 / (n-1) pk     1 4/ 4R   =   4/ R,
 
co kończy uzasadnienie wzoru (*).

 



 

Przedstawimy teraz wnioski wypływające ze wzoru (*) i z pomysłu jego uzasadnienia.

 


 

Twierdzenie 1. Dla n-kątów foremnych wpisanych w okrąg o promieniu R,
średnia długości przekątnych jest, dla dużych n, niemal równa  4 / R.
  

Dowód. Ponieważ ta średnia jest równa średniej długości przekątnych wychodzących z ustalonego wierzchołka (dlaczego?), jest ona równa
  
  1/(n-3) (p1+p2+...+pn-3) = 1/(n-3) ( pk - 2a ) = (n-1)/(n-3) (1/(n-1) pk)  -  2a/(n-3) .
  
Dla dużych n, dzięki (*) średnia jest równa
  
   1/(n-3) (p1+p2+...+pn-3)     1    (4/ R)   -   0   =   4/ R ,
  
bo   (n-1)/(n-3) 1   oraz   2a/(n-3) 0.

 


 

Gdy   = , to rozchylone boki oryginalnego wielokąta tworzą połowę obwodu 2n-kąta foremnego. Po tym 2n-kącie można toczyć n-kąt, jak widać na poniższym rysunku. Ustalony punkt T, toczącego się n-kąta, porusza się po łukach okręgów o 'skaczących' środkach OT. Gdy n jest duże, to są to krótkie łuki leżące blisko (pewnej) średnicy okręgu opisanego na 2n-kącie.

 

Można przesuwać 'wypełnione' punkty i suwaki.

 

Widać zatem przybliżoną wersję twierdzenia o toczącym się okręgu (zwiększ n).

Twierdzenie 2. Gdy okrąg o promieniu R toczy się (bez poślizgu) wewnątrz okręgu o promieniu 2R, to ustalony punkt toczącego się okręgu porusza się po (pewnej) średnicy dużego okręgu.
  

 


 

Gdy   = 2, to rozchylone boki oryginalnego wielokąta tworzą odcinek, zaś podstawy zielonych trójkątów tworzą czerwoną łamaną L o długości 8R, dla dużych n, co pokażemy poniżej.

 

 

Można przesuwać 'wypełnione' punkty i suwaki.

 

Tu także wszystkie zielone trójkąty są podobne i stosunek długości ramienia do podstawy w tych trójkątach s2 = pk / bk jest stały. Show B wyjaśnia, dlaczego s2 n / (2) dla dużych n.

Dalej skorzystamy z (*) w wersji:   pk     (n-1)    4/ R .   Mianowicie:

bk  =  1 / s2    pk     2/n    (n-1) 4/ R  =  (n-1)/n 8R     8R.

 

L jest przybliżeniem trajektorii ustalonego wierzchołka T n-kąta foremnego toczącego się (bez poślizgu) po prostej, jak widać na poniższym rysunku. Punkt T porusza się po łukach okręgów o 'skaczących' środkach OT. Gdy n jest duże, to są to krótkie łuki leżące blisko linii zwanej cykloidą.

 

Można przesuwać 'wypełnione' punkty i suwaki.

 

Widać zatem przybliżoną wersję twierdzenia o toczącym się okręgu (zwiększ n).

Twierdzenie 3. Gdy okrąg o promieniu R toczy się (bez poślizgu) po prostej, to ustalony punkt toczącego się okręgu porusza się po linii (zwanej cykloidą), której jeden okres ma długość 8R.
  

 


 

Gdy   = 4, to rozchylone boki oryginalnego wielokąta tworzą n-kąt foremny też o boku AB, ale 'wygięty w drugą stronę'. Podstawy zielonych trójkątów tworzą czerwoną łamaną L o długości 16R dla dużych n, co pokażemy poniżej.

 

Można przesuwać 'wypełnione' punkty i suwaki.

 

Tu też wszystkie zielone trójkąty są podobne i stosunek długości ramienia do podstawy w tych trójkątach s4 = pk / bk jest stały. Wyjaśnij, dlaczego s4 n / (4) dla dużych n.

Dalej skorzystamy z (*) w wersji   pk     (n-1)    4/ R .   Mianowicie:

bk  =  1 / s4    pk     4/n    (n-1) 4/ R  =  (n-1)/n 16R     16R.

 

L jest przybliżeniem trajektorii ustalonego wierzchołka T n-kąta foremnego toczącego się (bez poślizgu) po zewnętrzu takiego samego n-kąta foremnego, jak widać na poniższym rysunku. Punkt T porusza się po łukach okręgów (o 'skaczących' środkach OT). Gdy n jest duże, to są to krótkie łuki leżące blisko linii zwanej kardioidą.

 

Można przesuwać 'wypełnione' punkty i suwaki.

 

Widać zatem przybliżoną wersję twierdzenia o toczącym się okręgu (zwiększ n).

Twierdzenie 4. Gdy okrąg o promieniu R toczy się (bez poślizgu) po zewnętrznej stronie okręgu o promieniu R, to ustalony punkt toczącego się okręgu porusza się po linii (zwanej kardioidą) o długości 16R.
  

 


 

Dla innych wartości   < 2   również można znaleźć 'ładne' twierdzenia. Poniżej widać kolekcję błękitnych linii przybliżających epicykloidy. Epicykloida jest trajektorią ustalonego punktu toczącego się (bez poślizgu) okręgu o promieniu R po wewnętrznej stronie innego, większego okręgu. Metodą taką jak powyżej można znaleźć jej długość.

 

Można przesuwać 'wypełnione' punkty i suwaki.

 

Sformułuj chociaż jedno twierdzenie tego typu (dla ).

Twierdzenie E. Gdy okrąg o promieniu R toczy się (bez poślizgu) po wewnętrznej stronie okręgu o promieniu . . . . , to ustalony punkt toczącego się okręgu porusza się po linii (zwanej epicykloidą) o długości . . . . .
  

 


 

Dla innych wartości   > 2  również można znaleźć 'ładne' twierdzenia. Poniżej widać kolekcję błękitnych linii przybliżających różne hipocykloidy. Hipocykloida jest trajektorią ustalonego punktu toczącego się (bez poślizgu) okręgu o promieniu R po zewnętrznej stronie innego okręgu. Metodą taką jak powyżej można znaleźć jej długość.

 

Można przesuwać 'wypełnione' punkty i suwaki.

 

Sformułuj chociaż jedno twierdzenie tego typu.

Twierdzenie H. Gdy okrąg o promieniu R toczy się (bez poślizgu) po zewnętrznej stronie okręgu o promieniu . . . . , to ustalony punkt toczącego się okręgu porusza się po linii (zwanej hipocykloidą) o długości . . . . .
  

 


 

Podobna metoda badania cykloidy jest opisana w tekście Rolling Stones (3) - Rysują cykloidę .


  
Uwaga   (tylko dla dorosłych)

 



 

Powrót na górę strony