Średnia długości przekątnych

Dynamiczne rysunki utworzono przy użyciu programu C.a.R..

 

Rozważać będziemy n-kąty foremne wpisane w ustalony okrąg o promieniu R.

Niech   1/(n-1) p_k   oznacza średnią odległości ustalonego wierzchołka od pozostałych wierzchołków n-kąta (foremnego, wpisanego w okrąg o promieniu R).

Ta średnia jest równa
dla n = 3, dla trójkąta równobocznego:   1/(n-1) p_k   =   2 a / 2   =   a   =   R,
dla n = 4, dla kwadratu:   1/(n-1) p_k   =   (2a + a) / 3   =   (2 + 2) / 3 R,
dla n = 6  :   1/(n-1) p_k   =   (2a + 2a + 2a) / 5   =   (4 + 2) / 5 R.

Dalej pokażemy, że im n jest większe, tym średnia jest bliższa liczbie  4 / R, tzn. że dla dużych n zachodzi

  (*) 1 / (n-1)    p_k     4 /     R.

Niemal całe rozumowanie można odczytać z poniższego rysunku.

 

 

Poniżej opiszemy, co można odczytać z tego rysunku.

Rozcinamy wielokąt wzdłuż każdego z odcinków łączących A z pozostałymi wierzchołkami i rozchylamy powstałe części o kąt (na rysunku zwiększ ). Powstaje n-1 zielonych trójkątów równoramiennych o ramionach długości p_k i podstawach b_k.

Dla ustalonego > 0:

  - wszystkie zielone trójkąty są podobne,

  - stosunek długości ramienia do podstawy w tych trójkątach s = p_k / b_k jest stały,

  - podstawy zielonych trójkątów tworzą czerwoną łamaną L o długości

p_k   =   s b_k   =   s b_k .

Gdy   = , to:

- wszystkie podstawy leżą na jednej prostej (oblicz kąt pomiędzy sąsiednimi podstawami),

- rozchylone boki oryginalnego wielokąta tworzą połowę obwodu 2n-kąta foremnego, bo kąt zewnętrzny 2n-kąta foremnego jest równy 360^o / (2n), czyli tyle, co 2 - =
(włącz show A),

- łączna długość podstaw ( b_k) jest równa średnicy okręgu opisanego na 2n-kącie foremnym o boku AB (bo końce odcinka L połowią obwód tego 2n-kąta),

- promień O'A okręgu opisanego na 2n-kącie foremnym o boku AB jest:
          - równy najdłuższemu z odcinków p_k, gdy n jest nieparzyste,
          - dłuższy od najdłuższego z odcinków p_k krótszych od 2R, gdy n jest parzyste.

Z ostatnich dwóch obserwacji dla = i dla dużych n mamy:   b_k     4R.

Potrzebna jest jeszcze jedna obserwacja (włącz show B).

Dla = , dla dużych n, zauważmy, że n jednakowych trójkątów podobnych do tych zielonych, złączonych ramionami utworzy prawie półkole. Ich n podstaw ma łączną długość niemal taką, jak półokrąg. Zatem stosunek s ramienia do podstawy w tych trójkątach jest niemal równy stosunkowi promienia do 1/n długości półokręgu.
Stąd    s n / .

Podsumujmy. Dla = , dla dużych n mamy:
 

1/(n-1) p_k  =  1/(n-1) s b_k     1/(n-1) n/ 4R  =  n/(n-1) 4/ R .  
Ponieważ n/(n-1) 1 (za n wstaw: tysiąc, milion, miliard,...), mamy
  1 / (n-1) p_k     1 4/ 4R   =   4/ R,  
co kończy uzasadnienie wzoru (*).

 

---

---

 

Przedstawimy teraz wnioski wypływające ze wzoru (*) i z pomysłu jego uzasadnienia.

 

---

 

Twierdzenie 1. Dla n-kątów foremnych wpisanych w okrąg o promieniu R,
średnia długości przekątnych jest, dla dużych n, niemal równa  4 / R.
  

Dowód. Ponieważ ta średnia jest równa średniej długości przekątnych wychodzących z ustalonego wierzchołka (dlaczego?), jest ona równa
  
  1/(n-3) (p₁+p₂+...+p_n-3) = 1/(n-3) ( p_k - 2a ) = (n-1)/(n-3) (1/(n-1) p_k)  -  2a/(n-3) .
  
Dla dużych n, dzięki (*) średnia jest równa
  
   1/(n-3) (p₁+p₂+...+p_n-3)     1    (4/ R)   -   0   =   4/ R ,
  
bo   (n-1)/(n-3) 1   oraz   2a/(n-3) 0.

 

---

 

Gdy   = , to rozchylone boki oryginalnego wielokąta tworzą połowę obwodu 2n-kąta foremnego. Po tym 2n-kącie można toczyć n-kąt, jak widać na poniższym rysunku. Ustalony punkt T, toczącego się n-kąta, porusza się po łukach okręgów o 'skaczących' środkach O_T. Gdy n jest duże, to są to krótkie łuki leżące blisko (pewnej) średnicy okręgu opisanego na 2n-kącie.

 

 

Widać zatem przybliżoną wersję twierdzenia o toczącym się okręgu (zwiększ n).

Twierdzenie 2. Gdy okrąg o promieniu R toczy się (bez poślizgu) wewnątrz okręgu o promieniu 2R, to ustalony punkt toczącego się okręgu porusza się po (pewnej) średnicy dużego okręgu.
  

 

---

 

Gdy   = 2, to rozchylone boki oryginalnego wielokąta tworzą odcinek, zaś podstawy zielonych trójkątów tworzą czerwoną łamaną L o długości 8R, dla dużych n, co pokażemy poniżej.

 

 

 

Tu także wszystkie zielone trójkąty są podobne i stosunek długości ramienia do podstawy w tych trójkątach s₂ = p_k / b_k jest stały. Show B wyjaśnia, dlaczego s₂ n / (2) dla dużych n.

Dalej skorzystamy z (*) w wersji:   p_k     (n-1)    4/ R .   Mianowicie:

b_k  =  1 / s₂    p_k     2/n    (n-1) 4/ R  =  (n-1)/n 8R     8R.

 

L jest przybliżeniem trajektorii ustalonego wierzchołka T n-kąta foremnego toczącego się (bez poślizgu) po prostej, jak widać na poniższym rysunku. Punkt T porusza się po łukach okręgów o 'skaczących' środkach O_T. Gdy n jest duże, to są to krótkie łuki leżące blisko linii zwanej cykloidą.

 

 

Widać zatem przybliżoną wersję twierdzenia o toczącym się okręgu (zwiększ n).

Twierdzenie 3. Gdy okrąg o promieniu R toczy się (bez poślizgu) po prostej, to ustalony punkt toczącego się okręgu porusza się po linii (zwanej cykloidą), której jeden okres ma długość 8R.
  

 

---

 

Gdy   = 4, to rozchylone boki oryginalnego wielokąta tworzą n-kąt foremny też o boku AB, ale 'wygięty w drugą stronę'. Podstawy zielonych trójkątów tworzą czerwoną łamaną L o długości 16R dla dużych n, co pokażemy poniżej.

 

 

Tu też wszystkie zielone trójkąty są podobne i stosunek długości ramienia do podstawy w tych trójkątach s₄ = p_k / b_k jest stały. Wyjaśnij, dlaczego s₄ n / (4) dla dużych n.

Dalej skorzystamy z (*) w wersji   p_k     (n-1)    4/ R .   Mianowicie:

b_k  =  1 / s₄    p_k     4/n    (n-1) 4/ R  =  (n-1)/n 16R     16R.

 

L jest przybliżeniem trajektorii ustalonego wierzchołka T n-kąta foremnego toczącego się (bez poślizgu) po zewnętrzu takiego samego n-kąta foremnego, jak widać na poniższym rysunku. Punkt T porusza się po łukach okręgów (o 'skaczących' środkach O_T). Gdy n jest duże, to są to krótkie łuki leżące blisko linii zwanej kardioidą.

 

 

Widać zatem przybliżoną wersję twierdzenia o toczącym się okręgu (zwiększ n).

Twierdzenie 4. Gdy okrąg o promieniu R toczy się (bez poślizgu) po zewnętrznej stronie okręgu o promieniu R, to ustalony punkt toczącego się okręgu porusza się po linii (zwanej kardioidą) o długości 16R.
  

 

---

 

Dla innych wartości   < 2   również można znaleźć 'ładne' twierdzenia. Poniżej widać kolekcję błękitnych linii przybliżających epicykloidy. Epicykloida jest trajektorią ustalonego punktu toczącego się (bez poślizgu) okręgu o promieniu R po wewnętrznej stronie innego, większego okręgu. Metodą taką jak powyżej można znaleźć jej długość.

 

 

Sformułuj chociaż jedno twierdzenie tego typu (dla ).

Twierdzenie E. Gdy okrąg o promieniu R toczy się (bez poślizgu) po wewnętrznej stronie okręgu o promieniu . . . . , to ustalony punkt toczącego się okręgu porusza się po linii (zwanej epicykloidą) o długości . . . . .
  

 

---

 

Dla innych wartości   > 2  również można znaleźć 'ładne' twierdzenia. Poniżej widać kolekcję błękitnych linii przybliżających różne hipocykloidy. Hipocykloida jest trajektorią ustalonego punktu toczącego się (bez poślizgu) okręgu o promieniu R po zewnętrznej stronie innego okręgu. Metodą taką jak powyżej można znaleźć jej długość.

 

 

Sformułuj chociaż jedno twierdzenie tego typu.

Twierdzenie H. Gdy okrąg o promieniu R toczy się (bez poślizgu) po zewnętrznej stronie okręgu o promieniu . . . . , to ustalony punkt toczącego się okręgu porusza się po linii (zwanej hipocykloidą) o długości . . . . .
  

 

---

 

Podobna metoda badania cykloidy jest opisana w tekście Rolling Stones (3) - Rysują cykloidę .

  
Uwaga   (tylko dla dorosłych)
Łamane L przybliżają trajektorię punktu toczącego się okręgu. To widać z rysunków i nie jest to specjalnie trudne do formalnego uzasadnienia. Trudniej jest precyzyjnie udowodnić, że długości łamanych przybliżają długość tej trajektorii (wszak długość linii nie jest funkcją ciągłą). Taki dowód mógłby bazować na wypukłości trajektorii i przybliżających ją łamanych.

 

---

---