Środki figur płaskich

Poniższy tekst wymaga zastanowienia, samodzielnej pracy, tworzenia własnych rysunków.
Warto wcześniej zrobić kilka zadań z artykułów: Środki par zbiorów, Środki zbiorów liczb.
Kluczowe, w poniższym tekście, jest pojęcie linii zamkniętej (jest nią na przykład: okrąg, czy brzeg kwadratu). Nie precyzuję tu tego pojęcia, nie podaję definicji. Przedstawiam rozumowania raczej w żargonie, a nie w formalnym języku matematyki. Jedynie w Uwagach wskazuję potrzebę doprecyzowania tego pojęcia. W początkach XX wieku znaleziono język, sposób sformalizowania rozumowań takich jak poniższe; stworzono topologię. Po co? Przeczytaj, może znajdziesz częściowe wyjaśnienie.

 

---

 

Określenie. Dla figury A niech S_A oznacza zbiór wszystkich środków odcinków o końcach w A. Będziemy mówić: S_A jest środkiem figury A.
 

Dla kwadratu A wszystkie punkty, z wyjątkiem wierzchołków, są środkami odcinków o końcach w A, czyli S_A = A \ wierzchołki. Tak samo jest dla każdego trójkąta, równoległoboku, trapezu.
Ogólnie: tak jest dla wielokątów wypukłych.

Każdy punkt W z wnętrza koła A jest punktem z S_{brzeg A}, czyli jest środkiem pewnej cięciwy.
Mianowicie środek koła jest środkiem dowolnej średnicy, a gdy W nie jest środkiem koła, to jest środkiem cięciwy przechodzącej przez W, prostopadłej do promienia przechodzącego przez W.
Nieco trudniej zobaczyć, że tak samo jest dla kwadratu.
Nie tylko dla kwadratu. Prawdziwe jest ogólne twierdzenie:
 

Twierdzenie 1.   Niech A będzie figurą wypukłą, której brzeg B jest linią zamkniętą.
Wtedy każdy punkt z wnętrza A jest środkiem pewnego odcinka o końcach w B.
 

Dowód nie jest trudny:
Niech W oznacza punkt z wnętrza A i F₁ jakiś punkt z B.
Dowolnemu punktowi F z B odpowiada punkt GF, będący przecięciem półprostej FW z B.
Gdy | F₁W | = | WG₁ |, to już nam się udało, W jest środkiem odcinka o końcach w B.
Jeśli nie, to 'wędrujmy' punktem F po B, od F₁ do odpowiadającego mu G₁ i mierzmy różnicę

| FW | - | WG | . Wtedy G będzie 'wędrować' po B, od G₁ do F₁. Po obrocie FW o 180^o znak różnicy zmieni się na przeciwny, zatem 'gdzieś po drodze' ta różnica musi choć raz być równa zero.
W tych miejscach W jest środkiem odcinka FG, odcinka o końcach w B.
 
 

Uwaga 1.   W powyższym twierdzeniu można wymazać założenie wypukłości A (o czym mówi Twierdzenie 2). Jednak wtedy trzeba zrobić nowy dowód. Powyższy szwankuje. W których miejscach? Gdzie w powyższym rozumowaniu wykorzystano wypukłość A? Przed dalszym czytaniem powinieneś odpowiedzieć na te pytania.
 
 

Twierdzenie 2.   Niech A będzie figurą ograniczoną przez linię zamkniętą B.
Wtedy każdy punkt z wnętrza A jest środkiem pewnego odcinka o końcach w B.
 

Dowód też nie jest trudny:
Niech W oznacza punkt z wnętrza A i niech k oznacza jakąś prostą przechodzącą przez W.
Na k, po różnych stronach W, są takie punkty F₁ i G₁ z B, że

każdy punkt odcinka F₁G₁, różny od końców, jest punktem wnętrza A . Gdy | F₁W | = | WG₁ |, to już się nam udało, W jest środkiem odcinka o końcach w B.
Jeśli nie, to niech P oznacza ten, który leży bliżej W.
Niech P' i B' oznaczają odbicie P i odbicie B względem W.
Oczywiście P' leży we wnętrzu A i w B'.
'Wędrując' punktem P' po całym B' musimy kiedyś przeciąć B (bo inaczej B' byłoby zawarte we wnętrzu A i ograniczałoby mniejszy obszar niż ogranicza B).
Punkt przecięcia B i B' wraz z odbiciem względem W, są końcami odcinka o końcach w B (dlaczego?), którego środkiem jest W (dlaczego?).
 
 

Uwaga 2.   To jest również dowód Twierdzenia 1.
 
 

Uwaga 3.   W przypadku, gdy na płaszczyźnie A jest obszarem pomiędzy dwoma współśrodkowymi okręgami, to w powyższym rozumowaniu 'zawodzi' stwierdzenie:

' ...wędrując P' po całym B'... '. Zatem dowód nie jest poprawny dla tego obszaru A, ale teza jest (trzeba zastosować Twierdzenie 2. dla innego obszaru: ograniczonego 'zewnętrzną składową' brzegu).
 
 

Uwaga 4.   Warto zobaczyć co się dzieje w przypadku, gdy A jest obszarem pomiędzy dwoma równoległymi prostymi. W którym miejscu zawodzi rozumowanie. Czy teza jest prawdziwa?
 
 

Uwaga 5.   Warto zobaczyć co się dzieje w przypadku, gdy A jest obszarem kąta (na przykład prostego). W którym miejscu zawodzi rozumowanie. Czy teza jest prawdziwa?
 
 

Uwaga 6.   Warto zobaczyć co się dzieje (zawodzi?) w przypadku, gdy na sferze A jest obszarem pomiędzy dwoma równoleżnikami: 10 i -15 po różnych stronach równika.
(Na sferze rolę odcinków pełnią krótsze łuki okręgów leżących w płaszczyznach przechodzących przez środek sfery.)
 
 

Uwaga 7.   Warto zobaczyć co się dzieje w przypadku, gdy A jest obszarem przedstawionym na poniższym rysunku. W którym miejscu zawodzi rozumowanie. Czy teza jest prawdziwa?

 

---

 

Ponownie rozpatrzmy przykład, gdy A jest kołem o środku O, B jest okręgiem go ograniczającym.

S_B   =   S_A   =   wnętrze A . Każdy, z wyjątkiem O, punkt wnętrza A jest środkiem dokładnie jednego odcinka o końcach w B. Powiemy: punkty wnętrza A, poza O, są jednoznacznie wyznaczone przez B.
Gdy P oznacza jakiś punkt okręgu B, to S_{B \ {P}} S_B , środki odcinków o końcach w punktach okręgu B różnych od punktu P, nie tworzą całego wnętrza A. (Bowiem S_{B \ {P}} jest wnętrzem A z usuniętym pewnym okręgiem [jakim?] i dodanym punktem [jakim?].)
 
 

Określenie 2.
Figurę G nazywamy generatorem figury A, gdy punkty G są punktami A oraz każdy środek odcinka o końcach w A jest jednoznacznie wyznaczony przez G.
Innymi słowy:   G jest podzbiorem A,   S_G = S_A oraz

dla każdego punktu X z S_A istnieje dokładnie jeden odcinek o końcach w G i środku X.
 
 

Poprzednie rozważania o okręgu B ograniczającym koło A, pokazały, że choć S_B = S_A, to B nie jest generatorem A (dlaczego?). Ponadto pokazały, że nie istnieje generator A złożony tylko z pewnych punktów okręgu (dlaczego?).
Nasuwa się naturalne pytanie: jak wygląda figura, która jest generatorem koła?
Nie wiem jak wygląda, ale wiem, że jest taka figura, że istnieje. Prawdziwe jest
 
 

Twierdzenie 3.   Dla każdej z poniższych figur istnieje generator:
koło, wnętrze koła, wielokąt, wnętrze wielokąta (wypukłego lub nie), wnętrze dowolnej figury.
 
 

Dowód (jaki znam) tego twierdzenia jest trudny i wymaga nieco wyższej matematyki. Jednak idea dowodu jest dość jasna, jest taka jak dowód Twierdzenia 1. z tekstu Środki zbiorów liczb (porównaj z uwagami do zamieszczonego tam Twierdzenia 3).
 
 

Uwaga 8.  Sformułowanie powyższego Twierdzenia 3. nasuwa pytanie:

Czy są jakieś figury, które nie mają generatora? Tak, są. To łatwe. Na przykład figura A złożona z czterech wierzchołków kwadratu, lub figura A złożona z czterech wierzchołków kwadratu i dowolnej ilości dowolnych punktów z wnętrza tego kwadrat. Gdyby istniał generator G dla takiego A, to ponieważ środki boków kwadratu są w S_A, więc wszystkie cztery wierzchołki musiałyby być w G (dlaczego?); ale wtedy środek kwadratu (też w S_A) byłby środkiem dwóch różnych odcinków o końcach w G.
 
 

Uwaga 9.  Powyższe rozważania nie wykluczają, że jest prosty dowód Twierdzenia 3.
Może któryś z Czytelników znajdzie takie rozumowanie?
 
 

Uwaga 10. A co się 'dzieje' w przestrzeni???
 

 

---

 

Dla tych, którzy nie mogą się obejść bez zadań, proponuję jedno, o idei dowodu Twierdzenia 2.
 
 

Zadanie 1.   Wyznacz S_B oraz figurę złożoną z wszystkich punktów jednoznacznie wyznaczonych przez B, gdy:

  a)   B jest brzegiem kwadratu,              a')   B jest brzegiem równoległoboku,

  b)   B jest brzegiem trójkąta równobocznego,        b')   B jest brzegiem trójkąta (dowolnego),

  c)   B jest brzegiem trapezu prostokątnego,        d)   B jest brzegiem sześciokąta foremnego,

  e*)   B jest brzegiem półkola,             f*)   B jest parabolą.

 

---

 

 

---

---

 

Warto przeczytać inne teksty o podobnej tematyce:
   - Środki par zbiorów
   - Środki zbiorów liczb
   - Odcinek figur

 

---

---

---