Środki zbiorów liczb

Data ostatniej modyfikacji:
2013-01-31
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
arytmetyka
rachunek zbiorów

Liczba 4,5 leży dokładnie w połowie odległości między 2 i 7. Jest środkiem odcinka o końcach 2 i 7 na osi liczbowej. Jak obliczyć, gdzie znajduje się środek odcinka między dwoma liczbami na osi? Do mniejszej z nich należy dodać połowę odległości między nimi, czyli w naszym przypadku 4,5 = 2 + . (7 - 2) = . 2 + . 7 = . (2 + 7).
 
Ogólnie liczba (x + y) = x + y  leży na osi liczbowej dokładnie w środku pomiędzy różnymi liczbami x, y. Sprawdź rachunki podobne jak poprzednio dla x < y.

 

Określenie 1
Dla zbioru liczbowego A niech SA oznacza zbiór wszystkich środków odcinków o końcach ze zbioru A. Będziemy mówili, że SA jest środkiem zbioru A.

 

Przykład 1.   Dla zbiorów skończonych łatwo jest wyliczyć ich środki (może to być co najwyżej żmudne):

    Dla  A = {1, 5, 6}  mamy   SA  =  { (1+5), (1 + 6), (5 + 6)}  =  {3, 3, 5}.

    Dla  A = {1, 2, 3, 5}  mamy   SA  =  {1, 2, 2, 3, 3, 4}.

    Dla  A = {4, 8, 12}  mamy   SA  = 

      S{10, 100, 1000, 1000000}  = 

 

Przykład 2.   Dla przedziałów i sum przedziałów problem jest nie tylko z końcami.

    Dla przedziału domkniętego  [2, 5]  mamy   S[2, 5]  = 

    Dla sumy przedziałów  A = [2, 5] [6, 8]   mamy   SA  = 

    Dla  A = [2, 5] [7, 9]   mamy   SA  = 

    Dla  A = [2, 5] [7, 9)   mamy   SA  = 

    Dla  A = [2, 5] (17, 19]   mamy   SA  = 

 

Przykład 3.       Dla zbioru liczb wymiernych  W  mamy   SW  = 

 

Przykład 3'.       Dla zbioru liczb niewymiernych  R \ W  mamy   SR \ W  = 

 

Przykład 4.   Niech U2 oznacza zbiór wszystkich ułamków właściwych (z przedziału (0, 1)), których mianowniki są potęgami dwójki.

    Dla  U2 = { 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, 1/16, 3/16, . . . } .   mamy   SU2 = U2.
Żeby to uzasadnić, pokażemy, że:
  a)   środek każdej pary liczb x, y z U2 należy do U2 ,
  b)   każda liczba u z U2 jest środkiem pewnych dwóch liczb należących do U2.
Ad. a) 
Ad. b) 

 

Przykład 5.   Niech U10 oznacza zbiór wszystkich ułamków właściwych (z przedziału (0, 1)), których mianowniki są potęgami 10.

    Czy dla  U10   mamy   SU10 = U10?   

 


 

Dalsze przykłady są ciekawsze (ale trudniejsze).

 

Przykład 6.   Niech B5 oznacza zbiór wszystkich liczb z przedziału [0, 1], które można zapisać w układzie dziesiętnym bez cyfry 5.
Do B5 nie należy żadna liczba z przedziału otwartego (0,5, 0,6), ale 0,5 jest w B5,
bo 0,5 = 0,4(9) - nawias oznacza, że cyfra dziewięć jest w okresie.
Przybliżenie zbioru B5 jest pokazane na poniższym rysunku.

Zobaczmy, że

SB5 = (0, 1),
każda liczba x z przedziału (0, 1) jest środkiem odcinka o końcach x', x'' zapisanych bez cyfry 5.

Dla konkretnych przykładów x nie jest trudno podać odpowiednie x', x'', np.:

x = 0,230521541... = (0,130421441... + 0,330621641...),
x = 0,909012273... = (0,869012273... + 0,949012273...).
Jednak ogólny przepis jest dość zawiły, bo trzeba rozpatrzyć różne przypadki.
 
Niech 0,c1c2c3 oznacza zapis dziesiętny liczby x. Tworzymy nowe dwie liczby x' < x'' o zapisach dziesiętnych x' = 0,b1b2b3... i x'' = 0,d1d2d3..., według następującego przepisu:
  -   gdy w zapisie x występuje cyfra 4, 5 lub 6, to bi = ci-2, di = ci+2 gdy ci jest równe 4, 5 lub 6 oraz bi = di = ci w pozostałych przypadkach,
  -   gdy w zapisie x nie występują cyfry 4, 5 i 6, ale jest jakaś cyfra cio równa 1, 2, 3, 7 lub 8,
to bio = cio-1, dio = cio+1 oraz bi = di = ci dla i io ,
  -   gdy w zapisie x są same cyfry 0 i 9 i jest takie io, że cio = 9, cio+1 = 0, to bio = 8, bio+1 = 6, dio = 9, dio+1 = 4 oraz bi = di = ci dla i io oraz i io+1,
  -   gdy w zapisie x są same cyfry 0 i 9 i nie ma takiego io, że cio = 9, cio+1 = 0, to x ma inne, skończone rozwinięcie dziesiętne; dla niego tworzymy x', x''według jednej z powyższych reguł.

Tak utworzone liczby x', x'' są zapisane bez cyfry 5, są z przedziału [0, 1], x' < x''
oraz x = (x' + x''), co nie jest trudne do sprawdzenie, jeśli pomyślimy o pisemnym dodawaniu (wykonywanym 'od lewej do prawej').

 

Przykład 6'.   Niech B4,5 oznacza zbiór wszystkich liczb z przedziału [0, 1], które można zapisać w układzie dziesiętnym bez cyfr 4 i 5.
Do B4,5 nie należy żadna liczba z przedziału (0,4, 0,6), ale 0,4 jest w B4,5, bo 0,4 = 0,3(9). Przybliżenie zbioru B4,5 jest pokazane na poniższym rysunku.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie można pokazać, że

SB4,5 = (0, 1),
każda liczba x z przedziału (0, 1) jest środkiem odcinka o końcach zapisanych bez cyfr 4 i 5.

 

Przykład 6''.   Niech B3,4,5,6 oznacza zbiór wszystkich liczb z przedziału [0, 1], które można zapisać w układzie dziesiętnym bez cyfr 3, 4, 5 i 6.
B3,4,5,6 powstaje z przedziału [0, 1], z którego usuwamy kolejno przedziały otwarte:
    (0,3, 0,7),
    (0,03, 0,07), (0,13, 0,17), (0,23, 0,27), (0,73, 0,77), (0,83, 0,87), (0,93, 0,97),
    i dalsze: (0,003, 0,007), (0,013, 0,017), ...
i tak 'w nieskończoność'. To, co zostanie, to właśnie zbiór B3,4,5,6.
Mamy

SB3,4,5,6 (0, 1),
bowiem 'dziury' są za szerokie, np. żadna liczba z przedziału (0,65, 0,7] nie jest środkiem odcinka o końcach zapisanych bez cyfr 3, 4, 5 i 6.

 

Przykład 7.   Interesującą własność ma zbiór B8 wszystkich liczb z przedziału [0, 1], które można zapisać w układzie dziesiętnym bez cyfry 8. Do B8 nie należy żadna liczba z przedziału otwartego (0,8, 0,9). Podobnie jak w przykładzie 6. można pokazać, że

SB8 = (0, 1),
tzn. każda liczba x z przedziału (0, 1) jest środkiem odcinka o końcach zapisanych bez cyfry 8.
 
Ciekawe jest to, że niektóre z liczb z przedziału (0, 1) są środkami dokładnie jednego odcinka o końcach w B8, na przykład liczby:
0,9 = (0,7(9) + 0,(9)),
0,99 = ( 0,97(9) + 0,(9)),
0,999 = ( 0,997(9) + 0,(9)).
Są to jedyne przedstawienia tych liczb, gdzie po prawej stronie w nawiasie są liczby z B8, bo 'dziury' z lewych stron tych liczb są takie, jak ich odległości od 1.
 
Jest jednak wiele liczb bez tej jednoznaczności, na przykład:
0,5 = (0,4 + 0,6) = (0,3 + 0,7),
0,(3) = (0,(4) + 0,(2)) = (0,(5) + 0,(1)).

 

Przykład 8.   Zbiór Cantora C, to zbiór wszystkich liczb z przedziału [0, 1], które można zapisać w układzie trójkowym bez cyfry 1. Do C nie należy żadna liczba z przedziałów otwartych:
                                                               (1/3, 2/3),
                           (1/9, 2/9),                                                            (7/9, 8/9),
      (1/27, 2/27),                    (7/27, 8/27),                     (19/27, 20/27),                 (25/27, 26/27),
(1/81, 2/81),   ...                     

Przybliżenie zbioru C jest pokazane na poniższym rysunku. Podpisy są w układzie trójkowym.

Metodami z poprzednich przykładów, rachując w układzie trójkowym, można pokazać, że:

SC (0, 1),

że do zbioru SC należą te i tylko te liczby, które należą do przedziałów domkniętych:
                                                               [1/3, 2/3],
                           [1/9, 2/9],                                                            [7/9, 8/9],
       [1/27, 2/27],                     [7/27, 8/27],                      [19/27, 20/27],                [25/27, 26/27],
[1/81, 2/81],   ...                     
Przy czym tylko końce tych przedziałów, czyli liczby: 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, 1/27, 2/27, 7/27, 8/27, 19/27, 20/27, 25/27, 26/27, 1/81, 2/81, ... (tzn. liczby z (0, 1) o skończonych rozwinięciach trójkowych) mają jednoznaczne przedstawienia jako środki odcinków o końcach w C.

 



 

Określenie 2
Zbiór G nazywamy generatorem zbioru A, gdy G jest podzbiorem A, SG = SA oraz

dla każdego x z SA istnieje dokładnie jedna para x'< x'' liczb z G taka, że x = (x' + x'').

 

Na koniec poznamy trzy twierdzenia, które mówią, że dla pewnych zbiorów ISTNIEJĄ ich generatory. To dość nietypowe twierdzenia, bo mówią o ISTNIENIU generatorów, ale nie pokazują, jak te generatory wyglądają. Tego typu twierdzenia noszą nazwę twierdzeń egzystencjalnych i w początkach XX wieku budziły sporo kontrowersji.
Po co dowodzić ISTNIENIA, kiedy wydaje się, że o wiele lepiej i łatwiej jest po prostu WSKAZAĆ lub SKONSTRUOWAĆ przykład. Tyle, że czasami nie wiadomo JAK.

 

Twierdzenie 1 
Istnieje generator zbioru U2 ułamków właściwych o mianownikach będących potęgami 2.

 

Dowód 
Na początek ponumerujmy wszystkie elementy SU2 = U2 : u1 = , u2 = , u3 = i dalej jakkolwiek (byle różnowartościowo): u4, u5,... . Niech G1 = {u2, u3} = {, }.

Przypuśćmy, że dla ustalonej liczby naturalnej n mamy skończone zbiory G1, G1, ..., Gn. Tworzymy teraz nowy zbiór Gn+1.

Jeśli un+1 jest w SGn, to niech Gn+1 = Gn. Dalej rozpatrujemy przypadek gdy un+1 nie jest w SGn.

Utwórzmy pomocniczy zbiór Pn liczb postaci p, q-p, q+r-p, gdzie p, q, r są w Gn{un+1}.
Pn ma skończenie wiele elementów, bo skończony jest zbiór Gn {un+1}.
Zatem wśród nieskończenie wielu par liczb x' < x'' z U2, dla których un+1 = (x' + x''),
istnieje taka, że x', x'' i x' - x'' nie są w Pn.
Stąd już wynika (sprawdź prostymi rachunkami), że dla wszystkich p, q, r z Gn zachodzi

(x' + p) (x'' + q),
(x' + p) (x' + x''),     (x'' + p) (x' + x''),
(x' + p) (q + r),     (x'' + p) (q + r) .
Określamy Gn+1 = Gn {x', x''}.
Oczywiście un+1 = (x' + x'') jest w zbiorze SGn+1.
Oczywiście Gn+1 jest skończonym zbiorem o elementach z U2, o ile Gn ma tę własność.
Powyższe nierówności gwarantują, że środki Gn+1 są wyznaczane jednoznacznie, tzn.
(y' + y'') (z' + z''),   dla dowolnych dwóch różnych par y' < y'' i z' < z'' z Gn+1,
o ile Gn ma tę własność, tzn. o ile
(y' + y'') (z' + z'') ,   dla dowolnych dwóch różnych par y' < y'' i z' < z'' z Gn.

Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej można 'wymazać' owe o ile. Istnieje nieskończony ciąg zbiorów G1, G2, G3,..., takich, że dla każdego naturalnego k:
(i)    Gk jest skończonym podzbiorem U2,
(ii)    uk jest w SGk,
(iii)    środki Gk są wyznaczone jednoznacznie przez elementy z Gk.

Na koniec niech G oznacza zbiór wszystkich liczb ze zbiorów G1, G2, G3,... (w nieskończoność).
Sprawdzimy, że G jest generatorem.
  -   własność (i) gwarantuje, że G U2, skąd mamy SG SU2 = U2,
  -   własność (ii) gwarantuje, że U2 SG, zatem  SG = SU2 = U2,
  -   środki G są wyznaczone jednoznacznie przez elementy z G .
Niech bowiem (a + b) (c + d),  dla pewnych par a < b i c < d z G.
Istnieją liczby naturalne ka, kb, kc, kd takie, że a jest w Gka, b w Gkb, c w Gkc, d w Gkd.
Dla k będącego największą z liczb ka, kb, kc, kd, liczby a, b, c, d są z Gk.
Zatem, z własności (iii), pary a < b i c < d są jednakowe.

 

Uwaga 1.  Istnieje wiele różnych generatorów zbioru U2, bo w dowodzie braliśmy jakąś  spośród nieskończenie wielu par liczb x' < x'' i można zadbać, by jakaś ustalona liczba nigdy nie była wybrana.

 

Uwaga 2.  Każdy generator G jest minimalny, tzn. odrzucenie choć jednego jego elementu x spowoduje, że przestanie być generatorem, bowiem   SG\{x} SG. Dlaczego?
Należy odróżnić pojęcie minimalny od najmniejszy. Nie ma najmniejszego generatora, bo nie ma generatora zawartego w każdym innym. Dlaczego?

 

Uwaga 3.  W dowodzie braliśmy nieskończenie wiele razy jakieś pary liczb x' < x''. Można powiedzieć, że nieskończenie wiele razy wybieraliśmy. Poprawność takiego postępowania, tzn. możliwość 'nieskończonego wybierania jakichś elementów', jest gwarantowana przez tzw. AKSJOMAT WYBORU. Mówi on, że takie postępowanie jest poprawne. To stwierdzenie zazwyczaj przyjmuje się jako aksjomat (= bez dowodu) przy budowaniu wielu teorii matematycznych.

 

Dowód poniższego twierdzenia niemal niczym nie różni się od poprzedniego dowodu, należy tylko jakoś ponumerować elementy zbioru   S(0, 1) W  =  (0, 1) W.

 

Twierdzenie 2. 
Istnieje generator zbioru (0, 1) W, tzn. zbioru liczb wymiernych z przedziału (0, 1).

 

Ponieważ wszystkich liczb z (0, 1) nie można ponumerować liczbami naturalnymi, więc poprzednia metoda dowodzenia nie może być wprost zastosowane w dowodzie poniższego twierdzenia.

 

Twierdzenie 3 
Istnieje generator zbioru (0, 1).

 

Uwaga 4. (tylko dla dorosłych)  W XX wieku w matematyce wprowadzono liczby porządkowe (uogólnienie liczb naturalnych), którymi można 'ponumerować' wszystkie liczby z przedziału (0, 1). Uogólniono też zasadę indukcji matematycznej na stwierdzenia zależne od liczb porządkowych. Dzięki temu dowód twierdzenia 1 da się 'przepisać' niemal bez zmian tak, by stał się dowodem twierdzenia 3. Należy tylko zamiast 'skończony', pisać: 'mocy mniejszej od continuum'; zamiast 'nieskończony', pisać 'mocy równej continuum' (i (0,1) w miejsce U2).

 

Uwaga 5.  Może rozważania o aksjomacie wyboru i twierdzeniach egzystencjalnych są zbędne. Może da się 'jawnie' wskazać generator zbioru liczb (0, 1)? Ja nie umiem, ale może któryś z Czytelników znajdzie prosty dowód.

 



 

Warto przeczytać inne teksty o podobnej tematyce:
   - Środki par zbiorów
   - Odcinek figur
   - Środki figur płaskich

 




 

Powrót na górę strony