Studnia egipska (3) - Wersja 3D

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-11

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Dział matematyki:

geometria syntetyczna

geometria przestrzenna

Poziom edukacyjny:

szkoła średnia z maturą

Przed przeczytaniem tego tekstu koniecznie trzeba zrobić poprzednie zadania stąd Studnia egipska (1), a także przeczytać tekst Studnia egipska (2) - Między prawdą a mitem.
Gorąco polecamy.

Tym razem nie będziemy roztrząsać problemu w aspekcie historycznym. Za to może zbadamy go bardziej realistycznie.

PROBLEM 3

Dawno, dawno temu w starożytnym Egipcie

do okrągłej studni o średnicy 2r = 1,8 m

wpadł 2 metrowy drąg.
Gdy osiągnął dno obsunął się po ścianie studni.

Lepiej można to zobaczyć, podchodząc do studni
i zaglądając do niej z góry.

Jeszcze lepiej, gdy przekroimy studnię 'na pół'.

Obsuwając się po ścianie studni, drąg mógł zatrzymać się (wskutek tarcia) w różnych pozycjach.

Jednak dalej zakładamy, że obsunął się najniżej jak to możliwe.
Jaki ślad zarysował na ścianie studni?

ROZWIĄZANIE

Łatwo zobaczyć jak wysoko i jak nisko sięga ślad,

mianowicie 2 m oraz około 0,87 m.

A jak wygląda on pomiędzy tymi skrajnymi wartościami?

Jak to opisać? (To jest kluczowe miejsce rozumowania.)

Niech h - wysokość, na jaką sięga 2m drąg, gdy jego cień p jest taką cięciwą koła, że kąt środkowy oparty na tej cięciwie ma miarę a. Dalej postaramy się wyrazić h w zależności od a.

(Nawiasem mówiąc, kąt a łatwo zmierzyć patrząc z góry, nie schodząc na dno studni.)

Zauważmy, że p = 2 r sin (a / 2)
(pomyśl o połowie trójkąta równoramiennego z rysunku, albo zobacz nowy trójkąt prostokątny).

Teraz wystarczy skorzystać z tw. Pitagorasa:

Ponieważ długość łuku okręgu, na którym opiera się kąt środkowy jest równa x = ra , więc ślad po 'rozprostowaniu' ściany studni będzie wykresem funkcji

Można go wyświetlić za pomocą komputera lub kalkulatora graficznego:

Patrzymy na ten wykres i ... nic nie widzimy! Wzór - jak wzór, wykres - jak wykres... Jak ma się on do odpowiedzi na postawione pytanie 'Jaki jest ślad?'

Porównajmy ślad z linią przecięcia studni płaszczyzną przechodzącą przez skrajne położenia drąga i prostopadłą do płaszczyzny przekroju studni. Czy pokrywają się? Jeśli nie, to co leży wyżej?

Obok i poniżej widać, że płaszczyzna leży poniżej śladu zakreślonego przez drąg.

(przepis funkcji y wyprowadza się podobnie jak funkcji h - szczegóły pomijamy).

Można też zobaczyć (całkiem bez rachunków), że ślad to nic innego, jak przecięcie ściany studni sferą (wszak drąg ma stałą długość, jego ruchomy koniec 'jedzie' więc po tej sferze).

Naprawdę ciekawie się robi, gdy do studni wpadnie jeszcze drugi, 3 metrowy drąg.

Patrząc z góry nie widać, czy opierają się o siebie nawzajem, czy nie. Jedyne co można zmierzyć, to kąty a i b. Czy na tej podstawie można rozstrzygnąć, czy drągi dotykają się wzajemnie?

Jeśli drągi opierają się o siebie nawzajem, to wyznaczają płaszczyznę (nie ma jej na rysunku), która przechodzi przez średnicę NZ. Zbadajmy zatem płaszczyzny wyznaczone przez drągi i tą średnicę, czyli płaszczyzny BNZ oraz B'ZN, a właściwie kąty nachylenia tych płaszczyzn do podstawy walca, czyli do dna studni.
Te kąty (dwuścienne) mają miary takie, jak kąty BAC i B'A'C' zaznaczone na rysunku (zauważ, że AC i A'C' są prostopadłe do NZ).

Zamiast samych kątów, łatwiej jest wyznaczyć ich tangensy, czyli stosunki
BC / AC oraz B'C' / A'C' .
Pozostaje zatem wyznaczyć długości występujących tu odcinków.
Mamy:

bo jest to poprzednio wyznaczone h, natomiast
AC = NC cos(a / 2) = 2 r sin(a / 2) cos(a / 2)
= r sina .

Podobnie mamy:

A'C' = 2 r sin(b / 2) cos(b / 2) = r sinb .

Stąd otrzymujemy odpowiedź: drągi stykają się gdy

Można stawiać dalsze pytania:
- jeśli drągi stykają się, to na jakiej wysokości ponad dnem?
- jeśli nie stykają się, to w jakiej są odległości?
- a co w przypadku, gdy końce drągów nie wyznaczają średnicy, lecz cięciwę o długości d?
...
Zapewne odpowiedzi na te pytania wymagają bardziej żmudnych rachunków i trochę bardziej zaawansowanych metod (np. tw. cosinusów),
jednak najważniejsze pytanie to: czy ilość informacji, jakie mamy (widok z góry), pozwala odpowiedzieć na postawione pytania?

Życzymy radości z dalszych samodzielnych studiów Czytelników nad studniami.

Dodaj komentarz

Studnia egipska (3) - Wersja 3D

Bohater miesiąca

Impreza miesiąca

Problem miesiąca

Arcydzieło miesiąca

Zabawka miesiąca

Pytanie miesiąca

Dowcip miesiąca