Światowidy super 3D

Do rysunków 3D w niebieskich ramkach użyto apletu www.javaview.de/ Można w nich manipulować myszą.

 

Sześcian wygląda jednakowo z każdej strony: z obu profili, z tyłu i 'en face', a także od góry i z dołu. To lepiej niż posąg mitycznego Światowida, który miał zaledwie cztery jednakowe twarze patrzące w różne strony świata. Są też inne bryły o sześciu jednakowych obliczach. Nazwiemy je światowidami super 3D. Obejrzyj przykłady.
(Czwarta z poniższych brył jest przybliżeniem kostki Mengera, a na jej ścianach widać przybliżenia dywanu Sierpińskiego.)

 

Zapraszamy do zabawy w projektowanie własnych światowidów super 3D.
Na siatce n×n wyklikaj swój projekt P, t.j. widok z profilu (a jednocześnie 'en face' i z góry) projektowanej bryły. Automat z sześcianu n×n×n

wytnie te bloki, które muszą być usunięte. To znaczy kwadratowym 'dłutem' przebije sześcian na wylot w tych i tylko tych miejscach, które na projekcie P nie są zaznaczone. Dla każdego nie zaznaczonego miejsca w projekcie sześcian będzie przebity trzy razy: z przodu, z boku i z góry.
Jak mówił Michał Anioł: 'Rzeźbi Natura, ja usuwam tylko to, co zbędne'.

Uwaga 1
Nie każdy projekt P można zrealizować. Co to znaczy i kiedy tak jest, omówimy nieco później.

 

Pracownia projektowa światowidów super 3D
 

 

 

 

 
UWAGA 2 
Sprecyzujmy jak działa nasz automat.
Przyjmijmy oznaczenia dla projektu P na siatce n×n:
-   kratkę z P oznaczamy współrzędnymi jej prawego górnego wierzchołka, czyli lewą dolną kratkę oznaczamy (1,1), a lewą górną (1,n),
-   blok w sześcianie n×n×n oznaczamy podobnie, tzn. (1,1,1) oznacza blok o wierzchołku (1,1,1) i przekątnej (0,0,0)-(1,1,1), a (2,3,5) oznacza blok o wierzchołku (2,3,5) i przekątnej (1,2,4)-(2,3,5).
Gdy w projekcie P nie ma kratki (2,4), to usuwamy z sześcianu n×n×n wszystkie bloki, które:
-   mają współrzędne postaci (2,y,4); dzięki temu, gdy patrzymy z przodu, wzdłuż osi OY, widzimy puste okienko w kratce (2,4),
-   mają współrzędne postaci (x,2,4); dzięki temu, gdy patrzymy z boku, wzdłuż osi OX (przeciwnie do jej zwrotu), widzimy puste okienko w kratce (2,4),
-   mają współrzędne postaci (2,4,z); dzięki temu, gdy patrzymy z góry, wzdłuż osi OZ (przeciwnie do jej zwrotu), widzimy puste okienko w kratce (2,4).
Powtarzamy to dla wszystkich nie zaznaczonych kratek projektu P.
Efekt działania nieco innego algorytmu zobaczysz na prawym rysunku, zaznaczając opcję [inna wersja]. Otrzymujemy wtedy symetryczne odbicie poprzedniej bryły. Względem jakiej płaszczyzny jest ono odbite?
Dalej będziemy zajmować się tylko tymi bryłami, które powstały według opisanego wyżej algorytmu (odhacz opcję [inna wersja]).

 

---

 

Zadanie 1.   Dla podanego projektu wyobraź sobie całego światowida super 3D i oblicz:
   -  pole p projektu (jednostką jest kratka),
   -  liczbę b bloków, z których składa się cała rzeźba,
   -  pole ś całej rzeźby (jednostką jest kratka).

 

Zadanie 2.   W Zadaniu 1. w niektórych przykładach mamy:

ś  =  6 ^. p. W których?

 

---

 

Nie dla każdego projektu P istnieje światowid super 3D.
Te projekty P, dla których istnieje bryła, która z każdej strony wygląda jak P, nazwiemy projektami realizowalnymi.
 

Zadanie 3.   Ile jest realizowalnych jednokratkowych (p=1) projektów na siatce 5×5?
 Odp. 5.

Zadanie 4.   Czy jeśli projekt jest symetryczny względem przekątnej (0,0)-(n×n), to jest realizowalny?
 Odp. Niekoniecznie. Podaj przykład na 'tak' oraz przykład na 'nie'.

Zadanie 5.   Niech dwa projekty P₁ i P₂ nie mają wspólnych kratek i w sumie pokrywają całą siatkę 5×5. Czy wtedy:
a)  oba są realizowalne?   Odp. Niekoniecznie. Podaj przykład na 'tak' oraz przykład na 'nie'.
b)  co najmniej jeden z nich jest realizowalny?   Odp. NIE. Podaj przykład, że nie.

Zadanie 6*.   Ile jest realizowalnych dwukratkowych (p=2) projektów na siatce 9×9 ?
 Odp. 36.

 

---

 

PROBLEM *.   Znajdź warunki konieczne i wystarczające do tego, by projekt był realizowalny.

 

Nim podamy rozwiązanie tego problemu, warto znaleźć częściowe odpowiedzi. Podamy kilka obserwacji.

 

Obserwacja 1  
Jeśli projekt zawiera kratki z lewej i prawej kolumny oraz nie zawiera żadnej kratki z górnego wiersza siatki, to jest nierealizowalny.

Oczywiście zachodzi również

Obserwacja 1'  
Jeśli projekt zawiera kratki z lewej i prawej kolumny oraz nie zawiera żadnej kratki z dolnego wiersza siatki, to jest nierealizowalny.
Jeśli projekt zawiera kratki z dolnego i górnego wiersza oraz nie zawiera żadnej kratki z lewej lub prawej kolumny siatki, to jest nierealizowalny.

Można znaleźć też warunki wystarczające.

Obserwacja 2  
Jeśli projekt zawiera cały dolny wiersz i całą lewą kolumnę siatki, to jest realizowalny.

Można tę obserwację uogólnić.

Można zobaczyć, że zachodzi:

Zadanie 7.   Znajdź przykład takiego realizowalnego projektu, który nie spełnia żadnego z warunków podanych w obserwacjach: 2, 2', 3.

 

---

 

 

---

---