Symetryzacja na gładko

Data ostatniej modyfikacji:
2010-04-12
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
geometria przestrzenna

Symetryzacja figury F względem prostej P jest pewną transformacją tej figury, mianowicie:
rozważamy wszystkie proste m prostopadłe do P,
gdy taka prosta m przecina F wzdłuż pewnego odcinka, to odcinek ten przesuwamy wzdłuż m tak, by jego środek znalazł się na prostej P.
Tak utworzoną nową figurę oznaczamy symbolem  TP( F ) .
Ta transformacja nazywana jest symetryzacją Steinera.

Pewne wyobrażenie takiej symetryzacji daje poniższy dynamiczny rysunek.

Tablica do symetryzacji trójkątów i czworokątów wypukłych 

 

Możesz m.in. przesuwać punkty (ikona ), tworzyć nowe symetryzacje (ikona ).

Rysunek został utworzony za pomocą programu CaR. Dziękujemy Rene Grothmannowi.   

 

Poniższe zadania pozwolą zapoznać się lepiej z pojęciem symetryzacji.

Zaczniemy od dość łatwych przykładów. W miejsca wykropkowane należy wpisać odpowiednie warunki. Powyższa dynamiczna tablica pozwoli przetestować hipotezy.

Zad. U.1.  Niech F będzie trójkątem ABC.
a)   TAB( F ) jest trójkątem wtedy i tylko wtedy, gdy kąt CAB lub kąt CBA jest ...........
b)   TAB( F ) jest rombem wtedy i tylko wtedy, gdy ...........
b')   TAB( F ) jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy ...........
c)  punkt A leży we wnętrzu  TAB( F ) wtedy i tylko wtedy, gdy kąt ...........
d)  punkt C leży na prostej zawierającej przekątną  TAB( F ) wtedy i tylko wtedy, gdy ...........

Zad. U.2.  Niech F będzie trójkątem równobocznym ABC i niech punkt D leży na prostej AB;
a)  TCD( F ) jest rombem wtedy i tylko wtedy, gdy D = ........... lub ...........
a')  TCD( F ) jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy D = ........... lub ...........
b)  TCD( F ) = F wtedy i tylko wtedy, gdy ...........
c)  jeśli  TCD( F ) jest trójkątem i  TCD( F ) F, to CD jest prostopadły do ........... lub ...........
c')  jeśli  TCD( F ) i F są przystające i  TCD( F ) F, to CD jest ...........
d)   TCD( F ) jest trójkątem wtedy i tylko wtedy, gdy CD jest prostopadły do ........... lub ........... lub ...........

Zad. U.3.  Niech F będzie trójkątem ABC i niech punkt D leży na prostej AB.
a)  jeśli D leży na ..........., to  TCD( F ) jest trójkątem
b)  jeśli  TCD( F ) = F, to D jest ........... i CA = ...........
b')  TCD( F ) = F wtedy i tylko wtedy, gdy ...........
c)  jeśli  TCD( F ) i F są przystające i CA = CB, to DA = ...........
c')  jeśli  TCD( F ) i F są przystające i AB = AC BC, to CD jest prostopadły do ...........
c'')  jeśli  TCD( F ) i F są przystające i AB = BC AC, to CD jest prostopadły do ...........
d)  TCD( F ) jest trójkątem wtedy i tylko wtedy, gdy CD jest prostopadły do ........... lub ........... lub ...........


Następne sześć zadań rachunkowych nie wymaga właściwie żadnej wiedzy poza twierdzeniem Pitagorasa. Jednak niektóre z tych zadań są dość żmudne.

Zad. R.1.  Niech F będzie trójkątem równobocznym ABC o boku AB = 2.
Oblicz:  obw F  i  obw TAB( F ).

Zad. R.2.  Niech F będzie trójkątem prostokątnym ABC o przyprostokątnych: AC = 2 i BC = 2.
Oblicz:  obw F,   obw TAC( F )  i  obw TAB( F ). Który obwód jest najmniejszy?

Zad. R.3.  Niech F będzie trójkątem prostokątnym ABC o przyprostokątnych: AC = 6 i BC = 8.
Oblicz:  obw F,  obw TAC( F ),  obw TBC( F )  i  obw TAB( F ). Który obwód jest najmniejszy?

Zad. R.4.  Niech F będzie trójkątem równoramiennym ABC o podstawie AB = 2 i wysokości CD = h.
a)  Dla jakiej wartości h figura  TAB( F ) jest kwadratem?
b)  Dla jakiej wartości h figura  TCD( F ) jest trójkątem równobocznym?
c)  Dla jakiej wartości h figura  TCA( F ) jest trójkątem?
d)  Dla jakiej wartości h figura  TCA( F ) jest równoległobokiem?
d')  Dla jakiej wartości h figura  TCA( F ) jest rombem?
d'')  Dla jakiej wartości h figura  TCA( F ) jest kwadratem?
d)  Wyznacz obw TAB( F ) (w zależności od wartości parametru h).

Zad. R.5.  Niech A(0,0), B(4,0), C(6,6), D(0,4) oznaczają punkty w układzie współrzędnych i niech F oznacza trójkąt ABC.
Oblicz:  obw TAD( F ),  obw TAB( F ),  obw TAC( F ),  obw TAC( TBD( F ) ).

Zad. R.6.  Niech F będzie kwadratem ABCD o boku AB = 2 i niech E będzie środkiem boku BC. Oblicz:  obw TAE( F ).


Ostatnia porcja zadań dotyczy symetryzacji brył w przestrzeni. Zadania są dość trudne, a niektóre z nich dodatkowo są żmudne. Zaczniemy od określenie symetryzacji w przestrzeni:

Symetryzacja bryły B względem płaszczyzny P jest nową bryłę  TP(B) tworzoną następująco:
rozważamy wszystkie proste m prostopadłe do P:
gdy taka prosta m przebija B wzdłuż pewnego odcinka, to odcinek ten przesuwamy wzdłuż m tak, by jego środek znalazł się na płaszczyźnie P.

Zad. P.1.  W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEFW krawędź podstawy AB = 2 i wysokość WW' = 6.
a)  Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma  TABC( ABCDEFW ) ?
b)  Oblicz pole powierzchni całkowitej  TABC( ABCDEFW ).
c)  Oblicz łączną długość krawędzi  TABC( ABCDEFW ).

Zad. P.2.  Czworościan ABCD ma wierzchołki o współrzędnych: A(0,0,0), B(6,0,0), C(0,6,0), D(0,0,6).
a)  Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma  TABC( ABCD ) ?
a')  Oblicz pole powierzchni całkowitej  TABC( ABCD ).
a'')  Oblicz łączną długość krawędzi  TABC( ABCD ).
b)  Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma  TBCD( ABCD ) ?
b')  Oblicz pole powierzchni całkowitej  TBCD( ABCD ).
b'')  Oblicz łączną długość krawędzi  TBCD( ABCD ).

Zad. P.3.  W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDW wysokość WW' = 1 i pole podstawy ABCD jest równe 4.
a)  Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma  TABW( ABCDW ) ?
b)  Oblicz pole powierzchni całkowitej  TABW( ABCDW ).
c)  Oblicz łączną długość krawędzi  TABW( ABCDW ).

Zad. P.4.  W sześcianie S o krawędzi 1 niech P, Q, R oznaczają środki trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.
a)  Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma  TPQR( S ) ?
b)  Oblicz pole powierzchni całkowitej  TPQR( S ).
c)  Oblicz łączną długość krawędzi  TPQR( S ).

Zad. P.5.  W ośmiościanie foremnym Z pole ściany PQR wynosi 4.
a)  Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma  TPQR( Z ) ?
b)  Oblicz pole powierzchni całkowitej  TPQR( Z ).
c)  Oblicz łączną długość krawędzi  TPQR( Z ).

 


 

Inne zadania o symetryzacji są zebrane w artykule Symetryzacja na kratkach.
Piszemy też o tym w artykule Symetryzacja Steinera.

 

Powrót na górę strony